مبدأ العد والتباديل والتوافيق وزارة التربية الإدارة العامة لمنطقة العاصمة التعليمية مبدأ العد والتباديل والتوافيق بند ( 11 – 1 ) ثانوية الأصمعي بنين

تقديم برعاية بإشراف مدير المدرسة أ / جاسم الطراروة الوحدة الحادية عشرة: الجبر المتقطع 〔11-1〕 مبدأ العد والتباديل والتوافيق Counting Principle, Permutations and Combinations مدير المدرسة أ / جاسم الطراروة الموجهة الأولى للمادة أ / حصة العلي برعاية أ / وليد حسين تقديم الموجه الفني أ / سعيد خلف رئيس القسم أ / وليد طه محمد بإشراف

الجبر المتقطع المصطلحات الأساسية ماذا سوف تتعلم؟ الوحدة الحادية عشرة الجبر المتقطع • حل مسائل باستخدام مبدأ العد والتباديل والتوافيق. • استخدام مثلث باسكال. • استخدام نظرية ذات الحدين. • تتعرف التجربة العشوائية وفضاء العينة العشوائية. • تعيين احتمالات بعض الأحداث. • تعيين احتمال ذات الحدّين. المصطلحات الأساسية مبدأ العد - التباديل - الحالة الخاصة - التوافيق - مفكوك ذات الحدين – مثلث باسكال - نظرية ذات الحدين - التجربة العشوائية - فضاء العينة - الحدث – الحدث البسيط - الحدث المركب - الحدث المستحيل - الحدث المؤكد – الحدثان المتنافيان - الحدث المتمم - الحدثان المستقلان - التقاطع - الاتحاد - المتمم - احتمال ذات الحدين.

الوحدة الحادية عشر : الجبر المتقطع الأهداف السلوكية 1 يحدد عدد طرق إجراء تجربة ما. يحدد عدد طرق إجراء تجربة تتضمن عدة مراحل متتالية. 2 الوحدة الحادية عشر : الجبر المتقطع (1-11) : مبدأ العد والتباديل والتوافيق توزع على ( خمس حصص) يستخدم مبدأ العد في حل مسائل عملية. 3 يستخدم التباديل لعد الطرق الممكنة في عملية ما . 4 يستخدم التوافيق لعد الطرق الممكنة في عملية ما . 5 يحل معادلات تتضمن التباديل . 6 7 يحل معادلات تتضمن التوافيق .

دعنا نفكر ونتناقش يوجد في فصلكم 24 طالبًا وتريدون تشكيل وفد من ( (nطالب ليمثل الفصل. هل ترتيب طلاب الوفد مهم ؟ متى يصبح الترتيب مهمًا ؟ 1 كلا الترتيب غير مهم . يصبح الترتيب مهماً عند تحديد ترتيب الاختيار الواحد تلو الأخر أو تحديد مهمة معينة للطالب المختار هل يمكن اختيار الطالب نفسه لأكثر من مرّة في الوفد نفسه؟ 2 كلا لا يمكن اختيار الطالب نفسه لأكثر من مرة في الوفد نفسه والزمن نفسه. جدول التوافيق ما قيمة n التي تسمح بتشكيل أكبر عدد ممكن من الوفود؟ بيّن طريقة عملك. 3 من الدراسة السابقة يمكن استخدام مفهوم التوافيق يمكن حساب التوافيق باستخدام الألة الحاسبة ونلاحظ أن أكبر قيمة هي عند اختيار 12 طلاب في الوفد ويمكن ذلك من خلال مثلث باسكال حيث يمكن الاختيار n )) من 1إلى 24 طالب أي عند اختيار نصف عدد الفصل 24C12 = 𝟐𝟒 𝟏𝟐 =𝟐𝟕𝟎𝟒𝟏𝟓𝟔 يتبع

تابع دعنا نفكر ونتناقش ما قيمة ( ( n التي تسمح بتشكيل أكبر عدد ممكن من الوفود إذا كان عدد طلاب الفصل 25 ؟ 4 يوجد هناك قيمتين يمكن من خلالها تكوين الوفد بأكبر عدد ممكن من الطرق 25C12 = 𝟐𝟓 𝟏𝟐 = 5200300 = 𝟐𝟓 𝟏𝟑 = 25C13  n = 12 or n = 13

مبدأ العد تريد تنفيذ عمل على 3 مراحل متتابعة. هناك 3طرائق مختلفة لتنفيذ المرحلة الأولى، و 4 طرائق مختلفة لتنفيذ المرحلة الثانية ، وطريقة واحدة لتنفيذ المرحلة الثالثة. ما عدد الطرائق الممكنة لتنفيذ هذا العمل؟ لإجراء عملية على عدد من المراحل المتتابعة، كما يلي: r1 :عدد طرائق المرحلة الأولى (3) طرق r2: عدد طرائق المرحلة الثانية (4) طرق r3 : عدد طرائق المرحلة الثالثة (1) طريقة فإن عدد طرائق إجراء هذه العملية هو عدد الطرق الممكنة طريقة 3 × 4 × 1 = 12 1 1 2 A 2 B C 1 F 3 3 4 المرحلة الأولى 3 طرق المرحلة االثانية 4 طرق المرحلة الثالثة 1 طريقة

مبدأ العد لإجراء عملية على عدد من المراحل المتتابعة، كما يلي: المرحلة الأولى بـ r1 طريقة مختلفة المرحلة الثانية بـ r2 طريقة مختلفة المرحلة الثالثة بـ r3 طريقة مختلفة ......... وهكذا حتى المرحلة n بـ rn طريقة مختلفة فإن عدد طرائق , إجراء هذه العملية rn × .........r1 × r2 × r3

الأحاد العشرات الأحاد العشرات لتكن: A = { 1 , 2, 3} يراد تكوين مجموعات من الأرقام تحوي كل منها من رقمين لتكن: A = { 1 , 2, 3} يراد تكوين أعداد مختلفة الأرقام ومكونة من منزلتين باستخدام عناصرالمجموعة Aأوجد: عدد الأعداد الممكن تكوينها. لتكن: A = { 1 , 2, 3} يراد تكوين أعداد ذات منزلتين باستخدام عناصرالمجموعة Aأوجد: عدد الأعداد الممكن تكوينها. المجموعات { 1 , 2} { 1 , 3} { 2 , 3} الأحاد العشرات 2 1 3 الأحاد العشرات 1 2 3

مثال (1) لتكن: A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } يراد تكوين أعداد ذات ثلاثة منازل باستخدام عناصر المجموعة A أوجد: عدد الأعداد الممكن تكوينها. عدد الأعداد مختلفة الأرقام الممكن تكوينها. عدد الأعداد الفردية مختلفة الأرقام الممكن تكوينها . a b c انتبه 1) الأعدد مختلفة الأرقام (لايمكن كتابة الرقم نفسه في أكثر من منزلة) 2) إذا طلب الأعداد فقط , يمكن تكرار الرقم فيها 3) يكون العدد فردي إذا كان أحاده عدداً فردياً 4)و يكون زوجياً إذا كان آحاده عدداً زوجي الحل: r1 :عدد طرائق اختيار رقم من A لمنزلة الأحاد r2 :عدد طرائق اختيار رقم من A لمنزلة العشرات r3 :عدد طرائق اختيار رقم من A لمنزلة المئات الأعداد المطلوبة يمكن تكرار الأرقام فيها r1 = 5 , r2 = 5 , r3 = 5  فيكون عدد الأعداد الممكن تكوينها هو r3 = 5 ×5×5= 125 × r2 × r1 a الأحاد العشرات المئات 5

A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } تابع مثال (1) عدد الأعداد مختلفة الأرقام الممكن تكوينها. b الحل : الأعداد المطلوبة مختلفة الأرقام r1 = 5 , r2 = 4 , r3 = 3  فيكون عدد الأعداد الممكن تكوينها هو r3 = 5 ×4×3= 60 × r2 × r1 b الأحاد العشرات المئات 3 4 5 r3 = 5 ×4×3= 60 × r2 × r1

تابع مثال (1) A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } c عدد الأعداد الفردية مختلفة الأرقام الممكن تكوينها . الأعداد المطلوبة فردية ومختلفة الرقم في منزلة الآحاد فردي هو 1 أو 5 وبالتالي هناك طريقتان r1 = 2 يبقى 4 طرق مختلفة للرقم في منزلة العشر ات r2 = 4 يبقى 3 طرق مختلفة للرقم في منزلة المئاتr3 = 3  فيكون عدد الأعداد الفردية المختلفة الممكن تكوينها هو c الأحاد العشرات المئات 2 4 3 r3 = 2 × 4 × 3 = 24 × r2 × r1 www.themegallery.com

بما أنه يمكن تكرار الأرقام يمكن اختيار جميع عناصر المجموعة A العشرات حاول أن تحل 1 لتكن: A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } يراد تكوين أعداد ذات ثلاثة منازل باستخدام عناصر المجموعة A أوجد: عدد الأعداد الفردية الممكن تكوينها. عدد الأعداد الزوجية الممكن تكوينها. عدد الأعداد الزوجية مختلفة الأرقام الممكن تكوينها . a b c a الألوف بما أنه يمكن تكرار الأرقام يمكن اختيار جميع عناصر المجموعة A العشرات الآحاد يمكن اختيار الأرقام 1 أو 5 فقط عدد طرق اختيار منزلة الأحاد عدد طرق اختيار منزلة العشرات عدد طرق اختيار منزلة المئات 2 5 r3 = 2 × 5 × 5 = 50 × r2 × r1

بما أنه يمكن تكرار الأرقام يمكن اختيار جميع عناصر المجموعة A تابع حاول أن تحل 1 A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } عدد الأعداد الزوجية الممكن تكوينها. b الألوف بما أنه يمكن تكرار الأرقام يمكن اختيار جميع عناصر المجموعة A العشرات الآحاد يمكن اختيار الأرقام 2 أو 4 أو 6 فقط عدد طرق اختيار منزلة الأحاد عدد طرق اختيار منزلة العشرات عدد طرق اختيار منزلة المئات 3 5 r3 = 3 × 5 × 5 = 75× r2 × r1

A = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 } عدد الأعداد الزوجية مختلفة الأرقام الممكن تكوينها . تابع حاول أن تحل 1 c المئات لا يمكن تكرار الأرقام يمكن اختيار عنصر من A لم يتم اختياره في الآحاد و العشرات العشرات بما أنه لا يمكن تكرار الأرقام يمكن اختيار عنصر من A لم يتم اختياره في الآحاد الآحاد يمكن اختيار الأرقام 2 أو 4 أو 6 فقط c عدد طرق اختيار منزلة الأحاد عدد طرق اختيار منزلة العشرات عدد طرق اختيار منزلة المئات 3 طريقة 4 طريقة r3 = 3 × 4 × 3 = 36 × r2 × r1

لتكن: B= {0,3, 4,5,7,9} يراد تكوين أعداد ذات أربعة منازل باستخدام عناصر المجموعة B أوجد: عدد الأعداد الممكن تكوينها. عدد الأعداد التي تقبل القسمة على 5 الممكن تكوينها. عدد الأعداد المختلفة الأرقام والمحصورة بين 7000 4000 ,الممكن تكوينها . مثال (2) a b c هناك 6 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الآحاد و 6 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة العشرات و 6 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة المئات و 5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الآلوف ) لا يمكن اختيار الصفر)  يمكن تكوين 𝟓×𝟔×𝟔×𝟔=𝟏𝟎𝟖𝟎 عدداً مختلفاً a الأحاد العشرات المئات الألوف 6 5

تابع مثال (2) عدد الأعداد التي تقبل القسمة على 5 الممكن تكوينها. b الحل : يقبل العدد القسمة على 5 إذا كان الرقم في منزلة الآحاد 5 أو 0  5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الألوف و 6 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة المئات وطريقتان لاختيار الرقم في منزلة الآحاد  يمكن تكوين 𝟓×𝟔×𝟔×𝟐=𝟑𝟔𝟎 عدداً مختلفاً الأحاد العشرات المئات الألوف 2 6 5 www.themegallery.com

c عدد الأعداد المختلفة الأرقام والمحصورة بين 7000 4000 , الممكن تكوينها من عناصر المجموعة B= { 0 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }. الحل: لكي يكون العدد محصورة بين 7000 4000 , فإن الرقم في منزلة الألوف هو 4 أو 5 ( لا يمكن أن يكون 9 أو 7 لأن العدد في هذه الحالة يكون أكبر من 7000 )  توجد طريقتان لاختيار الرقم في منزلة الألوف يبقى 5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة المئات و 4 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة العشرات و 3 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الآحاد  يمكن تكوين 120=3×4×5×2 عدداً مختلفاً محصوراً بين 7000 4000 , الأحاد العشرات المئات الألوف 3 4 5 2

5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الآلاف ) لا يمكن اختيار الصفر) 3 9 4 5 7 لتكن: B= { 0 , 3, 4,5,7,9} يراد تكوين أعداد ذات أربعة منازل باستخدام عناصر المجموعة B أوجد: عدد الأعداد المختلفة الأرقام الممكن تكوينها. عدد الأعداد التي تقبل القسمة على 10 الممكن تكوينها. عدد الأعداد المختلفة الأرقام والأكبر من 5000 الممكن تكوينها . حاول أن تحل 2 a b c 5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الآلاف ) لا يمكن اختيار الصفر) و هناك 5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة المئات (يمكن اختيار الصفر) و 4 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة العشرات و 3 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الآحاد  يمكن تكوين 𝟑×𝟒×𝟓×𝟓=𝟑𝟎𝟎 عدداً مختلفاً a الأحاد العشرات المئات الألوف 3 4 5

يقبل عدد القسمة على 10 إذا كان الرقم في منزلة الآحاد 0 لتكن: B= { 0 , 3, 4,5,7,9 } يراد تكوين أعداد ذات أربعة منازل باستخدام عناصرالمجموعة B أوجد: عدد الأعداد التي تقبل القسمة على 10 الممكن تكوينها. تابع حاول أن تحل 2 b الحل : يقبل عدد القسمة على 10 إذا كان الرقم في منزلة الآحاد 0  5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الألوف و 6 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة المئات وطريقة لاختيار الرقم في منزلة الآحاد  يمكن تكوين 𝟓×𝟔×𝟔×𝟏=𝟏𝟖𝟎 عدداً مختلفاً 3 9 4 5 7 الأحاد العشرات المئات الألوف 1 6 5 www.themegallery.com

عدد الأعداد المختلفة الأرقام والأكبر من 5000 الممكن تابع حاول أن تحل 2 3 9 4 5 7 عدد الأعداد المختلفة الأرقام والأكبر من 5000 الممكن تكوينها من عناصر المجموعة B= { 0 , 3 , 4 , 5, 7, 9 }. c الحل : لكي يكون العدد أكبر من 5000 فإن الرقم في منزلة الألوف هو 9 أو7 أو 5  توجد 3 طرق لاختيار الرقم في منزلة الألوف يبقى 5 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة المئات و 4 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة العشرات و 3 طرائق مختلفة لاختيار الرقم في منزلة الآحاد  يمكن تكوين 𝟑×𝟒×𝟓×𝟑=𝟏𝟖𝟎 عدداً مختلفاً أكبر من 5000 الأحاد العشرات المئات الألوف 3 4 5

مثال (3) بكم طريقة مختلفة يمكن الانتقال من المحطة A إلى المحطة F ومن دون المرور بالمحطة نفسها مرتين في كل طريقة انتقال؟ A F C D E B A F D E B A F C B ABDEF ABCF A F D E عدد المحطات الطريق 4 ABCF ADEF 5 ADECF ABCEF ABDEF ADBCF 6 ADBCEF ABDECF A F C B D ADEF ADBCF A F C D E ADECF A F C D B E ADBCEF A F C E B A F C D E B ABCEF ABDECF الحل :هناك 8 طرائق مختلفة للانتقال من المحطة A إلى F

حاول أن تحل (3) من مثال ( 3)بكم طريقة يمكن الانتقال من المحطة A إلى المحطة F مرورًا بخمس محطات فقط؟ A F C D E B A F D E B A F C D E ABDEF ADECF A F C B D A F C E B ADBCF ABCEF هناك 4 طرق مختلفة للانتقال من المحطة A إلى F مروراً بخمسة محطات

Permutations التباديل عند وضع قائمة منظمة لمعرفة عدد طرائق إجراء العمليات كما في مثال ( 3) وجدنا أن ترتيب العناصر مهمّ حيث يختلف الطريق ADBCEF عن الطريق ABDECF التبديل هو توزيع العناصر وفق ترتيب معيّن. وقد سبق لك دراسة عدد تباديل n من العناصر فيما بينها ويسمّى مضروب (n -Factorial) n ويرمز له بالرمز n ! ويكون: n! = n(n − 1) (n – 2)……… ×𝟑×𝟐×𝟏 , 𝒏 ∈ 𝒛 + فمثلاً : 4! = 4 ×𝟑×2 ×1 =24 5!= 5×4 ×𝟑×2 ×1= 120 تذكر ان

Law of Permutations قانون التباديل nPr = n(n − 1) (n – 2)……… 𝐧−𝐫+𝟏 𝒏, 𝒓 ∈ 𝒛 + , 𝒏≥𝒓 : حيث n P 0 = 1 , nPn = n! , n 𝑃 1 = n ملاحظة : فمثلاً

مثال (4) 7P3 = 𝟕! 𝟕−𝟑 ! = 𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 = 𝟐𝟏𝟎 طريقة اشتركت 7 يخوت في سباق. بكم طريقة مختلفة يمكن توقع وصول اليخوت الثلاثة الأولى بالترتيب؟ الحل: ترتيب وصول اليخوت مهم ولا تكرار  عدد تباديل 3 يخوت من بين 7 يخوت : 7P3 = 𝟕! 𝟕−𝟑 ! = 𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 = 𝟐𝟏𝟎 طريقة هناك 210 تراتيب مختلفة لوصول اليخوت الثلاثة الأوائل إلى نهاية السباق .  

10P3= 𝟏𝟎! 𝟏𝟎−𝟑 ! = 𝟏𝟎×𝟗×𝟖×𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 =𝟕𝟐𝟎 طريقة تابع حاول أن تحل 4 ما عدد الطرائق المختلفة لوصول اليخوت الثلاثة الأوائل إذا اشترك في السباق 10 يخوت؟ الحل : ترتيب وصول اليخوت مهم ولا تكرار عدد تباديل 3 يخوت من بين 10 يخوت : 10P3= 𝟏𝟎! 𝟏𝟎−𝟑 ! = 𝟏𝟎×𝟗×𝟖×𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 =𝟕𝟐𝟎 طريقة www.themegallery.com

مثال (5) الحل الحل حل المعادلات التالية: nP5 = 6 × n P 𝟒 , n ≥5 a nP5 = 6 × n P 𝟒 , n ≥5 b 6 𝑃 𝑟 = 4 × 6 P 𝒓−𝟏 الحل الحل n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) = 6 × n (n - 1) (n - 2) (n - 3) n ≥𝟓  n (n - 1) (n - 2) (n - 3) ≠𝟎 (n - 4) =6 n= 6 +4  n = 10 𝟔! 𝟔−𝒓 ! = 4 × 𝟔! 𝟔−(𝒓−𝟏) ! 𝟔! 𝟔−𝒓 ! = 4 × 𝟔! 𝟔−𝒓+𝟏 ! 𝟔! 𝟔−𝒓 ! = 4 × 𝟔! 𝟔−𝒓+𝟏 𝟔 −𝒓 ! 𝟔−𝒓 ! 𝟔! الطرفين نضرب 1 = 4 𝟔−𝒓+𝟏 𝟔−𝒓+𝟏=4  𝒓= 3

تابع مثال (5) (n+1) n (n − 1) (n − 2)! 𝒏−𝟐 ! =𝟔𝟎 𝟐𝒏 P 𝒏+𝟐 2n P 𝒏−𝟏 = 60 c (n+1) n (n − 1) (n − 2)! 𝒏−𝟐 ! =𝟔𝟎 (n+1) n (n − 1)= 60 (n+1) n (n − 1)= 𝟓 × 4 × 3 n = 4  (𝟐𝒏)! 𝟐𝒏−𝒏−𝟐 ! (𝟐𝒏)! 𝟐𝒏−𝒏+𝟏 ! =𝟔𝟎 (𝟐𝒏)! 𝒏−𝟐 ! × (𝒏+𝟏)! 𝟐𝒏 ! =𝟔𝟎 (𝒏+𝟏)! 𝒏−𝟐 ! =𝟔𝟎

حاول أن تحل 5 حل المعادلات التالية: n 𝒑 𝟕 = 12 × n P 𝟓 a a n 𝒑 𝟕 = 12 × n P 𝟓 n 𝑝 7 = 12 × n P 5 الحل : n(n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)( n-5)(n-6) = 12 × n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) n(n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) ( n-5) (n-6) – 12 n (n - 1) (n - 2) (n – 3)(n - 4) = 0 n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) ( (n - 5) (n - 6) – 12) = 0 n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) ( 𝒏 𝟐 −𝟏𝟏𝒏 +18) =0 n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 2) (n-9) =0 n ≥𝟕  n(n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 2 )≠𝟎 (n-9)= 0  n = 9 طريقة 2)) 𝒏! 𝒏−𝟕 ! = 12 × 𝒏! 𝒏−𝟓 ! 𝒏! 𝒏−𝟕 ! = 12 × 𝒏! 𝒏−𝟓 𝒏−𝟔 𝒏−𝟕 ! 𝒏−𝟓 𝒏−𝟔 = 12 𝒏−𝟓 𝒏−𝟔 = 4 × 3 𝒏−𝟓= 4 𝒏= 9

𝟖! 𝟖−𝒓 ! = 4 × 𝟖! 𝟖−𝒓+𝟏 𝟖 −𝒓 ! 𝟖 −𝒓 ! 𝟖! الطرفين نضرب تابع حاول أن تحل 5 حل المعادلة التالية: b 8 𝑃 𝑟 = 4 × 8 P 𝒓−𝟏 𝟖! 𝟖−𝒓 ! = 4 × 𝟖! 𝟖−(𝒓−𝟏) ! 𝟖! 𝟖−𝒓 ! = 4 ×𝟖! 𝟖−𝒓+𝟏 ! 𝟖! 𝟖−𝒓 ! = 4 × 𝟖! 𝟖−𝒓+𝟏 𝟖 −𝒓 ! 𝟖 −𝒓 ! 𝟖! الطرفين نضرب 1 = 4 𝟖−𝒓+𝟏 𝟖−𝒓+𝟏=4  𝒓= 5

التوافيق Combinations سبق لك دراسة التوافيق حيث تحتاج أحيانًا إلى معرفة عدد المجموعات الجزئية والتي يمكن اختيارها من مجموعة ما. عندما نتكلم عن مجموعة فهذا يعني أن ترتيب العناصر غير مهم. لذلك نحسب عدد التوافيق. نرمز لعدد توافيق ( r ) عنصرًا مأخوذة من مجموعة عدد عناصرها ( n ) بالرمز nCr ويكون: قانون التوافيق nCr = n P r r! nCr = n! r! n −r ! 𝐧, 𝐫 ∈ 𝐳 + 𝐧≥ 𝐫 حيث ملاحظة = 1 nCn = n nC1 , = 1 nC0

مثال (6) الحل: = 𝟏𝟓×𝟏𝟒×𝟏𝟑×𝟏𝟐×𝟏𝟏! 𝟒×𝟑×𝟐×𝟏×𝟏𝟏! =1365 في مكتبة المدرسة 15 كتابًا مختلفًا من مجموعة روايات التاريخ الإسلامي. بكم طريقة يمكنك اختيار 4 كتب منها للمطالعة؟ الحل: تريد اختيار 4 كتب من مجموعة مكونة من 15 كتابًا. ترتيب الكتب المختارة غير مهم، وليس هناك تكرار )أي لا يمكن اختيار الكتاب نفسه أكثر من مرة واحدة( . عليك معرفة عدد توافيق 4 كتب من بين 15 كتابًا 15C4 = 𝟏𝟓! 𝟒!× 𝟏𝟓−𝟒 ! = 𝟏𝟓×𝟏𝟒×𝟏𝟑×𝟏𝟐×𝟏𝟏! 𝟒×𝟑×𝟐×𝟏×𝟏𝟏! =1365 يمكنك اختيار الكتب الأربعة بـ 1365 طريقة مختلفة .

في مكتبة المدرسة 15 كتابًا مختلفًا من مجموعة روايات التاريخ الإسلامي. حاول أن تحل 6 a بكم طريقة مختلفة يمكنك اختيار 7 كتب ؟ بكم طريقة مختلفة يمكنك اختيار 8 كتب ؟ b c ماذا تلاحظ ؟ a b c 15C7 = 15! 7!× 15−7 ! 15C8 = 𝟏𝟓! 𝟖!× 𝟏𝟓−𝟖 ! نلاحظ أن = 𝟏𝟓×𝟏𝟒×𝟏𝟑×𝟏𝟐×𝟏𝟏×𝟏𝟎×𝟗×𝟖! 𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏×𝟖! = 6435 = 𝟏𝟓×𝟏𝟒×𝟏𝟑×𝟏𝟐×𝟏𝟏×𝟏𝟎×𝟗×𝟖! 𝟖!×𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑×𝟐×𝟏 = 6435 15C8= 15C7

مثال (7) ترشح 10 طلاب لتمثيل القسم العلمي من مدرستك. يجري اختيار الممثلين الثلاثة بالاقتراع السري. يمكنك اختيار ثلاثة طلاب أو أقل. بكم طريقة مختلفة يمكنك أن تقترع؟ الحل: المطلوب اختيار مجموعة من 3 طلاب على الأكثر والترتيب غير مهم وليس هناك تكرار.  نحسب عدد التوافيق. يمكنك أن تقترع لِـ : 3 طلاب فيكون عدد الطرق 10C 3 : أو طالبين فيكون عدد الطرق 10C 2 : أو طالب واحد فيكون عدد الطرق 10C 1 : أو ورقة بيضاء فيكون عدد الطرق: 10C0 عدد طرائق الاقتراع: 10C3 + 10C2 + 10C1 + 10C0 = 120 + 45 + 10 + 1 = 176 يمكنك الاقتراع ب 176 طريقة مختلفة

يمكنك الاقتراع بـ 638 طريقة مختلفة . في المثال (7) ترشح 10 طلاب لتمثيل القسم العلمي من مدرستك. يجري اختيار الممثلين الخمسة بالاقتراع السري. بكم طريقة مختلفة يمكنك أن تقترع لخمس طلاب أو أقل؟ حاول أن تحل 7 الحل : المطلوب اختيار مجموعة من 5 طلاب على الأكثر والترتيب غير مهم وليس هناك تكرار.  نحسب عدد التوافيق. يمكنك أن تقترع لِـ : 5 طلاب فيكون عدد الطرق 10C 5 : 4 طلاب فيكون عدد الطرق 10C 4 : 3 طلاب فيكون عدد الطرق 10C 3 : أو طالبين فيكون عدد الطرق 10C 2 : أو طالب واحد فيكون عدد الطرق 10C 1 : أو ورقة بيضاء فيكون عدد الطرق: 10C 0 عدد طرائق الاقتراع: 10C5 + 10C4 + 10C3 + 10C2 +10C1 + 10C0 = 252+ 210+120 + 45 + 10 + 1= 638 يمكنك الاقتراع بـ 638 طريقة مختلفة .

مثال (8) الحل: طريقة أولى: في الصف الحادي عشر 28 طالبًا وفي الصف الثاني عشر 24 طالبًا.أراد معلم الرياضة اختيار 5 طلاب لتشكيل فريق لكرة السلة، شرط أن يتضمن الفريق على الأقل لاعبًا واحدًا من الصف الحادي عشر. ما عدد الخيارات الممكنة؟ عدد طلاب الثاني عشر عدد طلاب الحادي عشر 24 28 الحل: طريقة أولى: حيث إن ترتيب العناصر غير مهم  الخيارات هي توافيق يمكن أن يتكون الفريق من لاعب واحد من الصف الحادي عشر و 4 لاعبين من الصف الثاني عشر: 4 28C1 × 24C4 أو لاعبين اثنين من الصف الحادي عشر و 3 لاعبين من الصف الثاني عشر 28C2 × 24C3 أو 3 لاعبين من الصف الحادي عشر: 28C3 × 24C2 أو 4 لاعبين من الصف الحادي عشر 28C4 × 24C1 : أو 5 لاعبين من الصف الحادي عشر: 28C5 × 24C0 عدد الخيارات 28C1 × 24C4 + 28C2 × 24C3 + 28C3 × 24C2 + 28C4 × 24C1 + 28C5 × 24C0 297528 + 765 072 + 904176 + 491400 + 98 280 = 2556466=

تابع مثال (8) طريقة ثانية: يمكن أخذ كل الخيارات الممكنة لـ 5 طلاب من بين 24+28= 52 ورفض الخيارات التي تتضمن صفر طالب من الصف الحادي عشر أي اختيار الخمسة طلاب من الصف الثاني عشر 2556466 = 52C5 − 24C5 www.themegallery.com

حاول أن تحل 8 عدد طلاب الثاني عشر عدد طلاب الحادي عشر 24 28 في مثال ( 8)، ما عدد الخيارات الممكنة شرط أن يتضمن الفريق على الأقل لاعبين من الصف الثاني عشر؟ الحل: طريقة أولى: حيث إن ترتيب العناصر غير مهم  الخيارات هي توافيق يمكن أن يتكون الفريق من لاعبين من الصف الثاني عشر و 3 لاعبين من الصف الحادي عشر 28C3 × 24C2 أو3 لاعبين من الصف الثاني عشر 28C2 × 24C3 أو 4 لاعبين من الصف الثاني عشر: 28C1 × 24C4 أو 5 لاعبين من الصف الثاني عشر 28C0 × 24C5 : عدد الخيارات 28C3 × 24C2 + 28C2 × 24C3 + 28C1 × 24C4 + + 28C0 × 24C5 904176 + 765 072 + 297528+ 42504 = 2009280=

خواص أخرى للتوافيق أمثلة nCm = n-1Cm + n-1Cm-1 nCm = nCn-m 20C10 =19C𝟏𝟎 + 19C𝟗 15C10 = 14C𝟏𝟎 +14C𝟗 10C4 = 10C6 15C3 = 15C12

www.themegallery.com

مثال (9) في الصف الحادي عشر 20 طالبًا. يريد المدير اختيار وفد من 4 طلاب لتمثيل الصف. أوجد عدد الوفود المختلفة الممكن تكوينها. أوجد عدد الوفود المختلفة الممكن تكوينها شرط أن يكون الطالب سالم) من الصف الحادي عشر ) مشاركًا في الوفد. a b c أوجد عدد الوفود المختلفة الممكن تكوينها شرط ألّا يكون الطالب سالم ) من الصف الحادي عشر ) مشاركًا في الوفد. قارن بين إجابة ومجموع إجابتي و a .فسر. d b c a لحل: في عملية اختيار الوفد ترتيب العناصر غير مهم لذلك نحسب عدد التوافيق. : نختار 4 طلاب من بين 20طالب : 4845= 20C4 = 𝟐𝟎! 𝟒!× 𝟐𝟎−𝟒 ! a

تابع مثال (9) إذا كان سالم مشاركًا في الوفد فهذا يعني أنه يجب اختيار 3 طلاب من بين بقية الطلاب أي من بين 20-1=19   19C3 = 𝟏𝟗! 𝟑!× 𝟏𝟗−𝟑 ! =𝟗𝟔𝟗 إذا استثنى سالم من المشاركة في الوفد فهذا يعني أنه يجب اختيار 4 طلاب من بين 20-1=19 19C4 = 𝟏𝟗! 𝟒!× 𝟏𝟗−𝟒 ! =𝟑𝟖𝟕𝟔 969+3876=4845 19C3+19C4=20C4 nCm = n−1Cm + n−1Cm−1 b c d نلاحظ www.themegallery.com

حاول أن تحل 9 يتكون فريق كرة القدم في المدرسة من 18 لاعبًا. يريد المدرب تشكيل فريق من 11 لاعبًا. أوجد عدد الفرق المختلفة الممكن تكوينها. أوجد عدد الفرق المختلفة الممكن تكوينها إذا أراد المدرب أن يتضمن الفريق اللاعب عبد العزيز. أوجد عدد الفرق المختلفة الممكن تكوينها إذا استثنى المدرب اللاعب عبد العزيز من تشكيلة الفريق بطريقتين مختلفتين a b c الحل: في عملية اختيار الفريق ترتيب العناصر غير مهم لذلك نحسب عدد التوافيق. نختار 11 طلاب من بين 18طالب : 31824= 18C11 = 𝟏𝟖! 𝟏𝟏!× 𝟏𝟖−𝟏𝟏 ! إذا كان عبد العزيز مشاركًا في الفريق فهذا يعني أنه يجب اختيار 10 لاعبين من بين بقية اللاعبين أي من بين 18-1=17   17C10 = 𝟏𝟕! 𝟏𝟎!× 𝟏𝟕−𝟏𝟎 ! =𝟏𝟗𝟒𝟒𝟖

حاول أن تحل 9 يتكون فريق كرة القدم في المدرسة من 18 لاعبًا. يريد المدرب تشكيل فريق من 11 لاعبًا. الحل : إذا استثنى عبد العزيز مشاركًا في الفريق فهذا يعني أنه يجب اختيار 11 لاعب من بين 18-1=17 17C11 = 𝟏𝟏! 𝟏𝟏!× 𝟏𝟕−𝟏𝟏 ! =𝟏𝟐𝟑𝟕𝟔 nCm = n−1Cm + n−1Cm−1. c طريقة (1) طريقة (2) 17C11=18C11−17C10= 12376 www.themegallery.com

مثال (10) أوجد قيمة n في كل مما يلي : n P 𝟑 𝟑! = n P 𝟒 𝟒! nC7 𝒏−𝟏 C6 = 8 7 nC3 = nC4 a b n P 𝟑 𝟑! = n P 𝟒 𝟒! (𝒏)! 𝟕! 𝒏−𝟕 ! (𝒏−𝟏)! 𝟔! 𝒏−𝟔−𝟏 ! = 8 7 n(n − 1) (n − 2) 𝟑 ! = n(n − 1) (n − 2)(n − 3) 𝟒 ! 𝒏 𝒏−𝟏 ! 𝒏−𝟕 !×𝟕×𝟔𝟏 × (𝒏−𝟕)!×𝟔! 𝒏−𝟏 ! = 𝟖 𝟕 n(n − 1) (n − 2) 𝟑 ! = n(n − 1) (n − 2)(n − 3) 𝟒×𝟑 ! 4×n(n − 1) (n − 2) = n(n − 1) (n − 2)(n − 3) 𝒏 𝟕 = 𝟖 𝟕 4×n(n − 1) (n − 2) − n (n − 1) (n − 2)(n − 3)=0 4−n + 3 =0 7−n=𝟎 n=7 𝒏=𝟖 

حاول أن تحل 10 أوجد قيمة n في كل مما يلي : n P 4 4! = n P 5 5! n ≥𝟓 nC2 = 105 nC4 = nC5 a b n P 4 4! = n P 5 5! n P 𝟐 𝟐! =𝟏𝟎𝟓 n (n − 1) (n − 2)(n − 3) 𝟒 ! = n (n − 1) (n − 2)(n − 3)(n − 4) 𝟓 ! n (n − 1) 𝟐 ! =𝟏𝟎𝟓 n (n − 1) (n − 2)(n − 3) 𝟒 ! = n (n − 1) (n − 2)(n − 3)(n − 4) 𝟓×𝟒 ! n (n − 1) = 210 n ≥𝟓 n (n − 1) = 15×14  (n − 4) = 5 n = 15  n = 9

شكراً لحسن إصغائكم

1 24 24 24 24 23 24 1 276 24 22 24 2 2024 24 21 24 3 10626 24 20 24 4 42504 24 19 24 5 134596 24 18 24 6 346104 24 17 24 7 735471 24 16 24 8 1307504 24 15 24 9 1961256 24 14 24 10 2496144 24 13 24 11 2704156 24 12 عودة

بنود الموضوعية في الكراسة رقم السؤال الحل 1 a 2 b 3 4 5 6 c 7 8 9 10 11 d 12 13 14 15 بنود الموضوعية في الكراسة