المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية وزارة التربية المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية ألأدارة العامة لمنطقة الفروانية التعليمية ثانوية.

عرض تقديمي عن الموضوع: "المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية وزارة التربية المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية ألأدارة العامة لمنطقة الفروانية التعليمية ثانوية."— نسخة العرض التّقديمي:

1

2

3 المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية
وزارة التربية المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية ألأدارة العامة لمنطقة الفروانية التعليمية ثانوية درة الهاشيمية قسم الرياضـــيات

4 ورشة عمل في منهج الثاني عشر علمي مشتقات الدوال المثلثية
الوحدة الثانية مشتقات الدوال المثلثية بند ( 2 – 4 ) ( 2 – 5 ) ( 2 – 6 )

5 قسم الرياضيات الموجهه الأولي أ / جميلة البيدان مديرة المدرسة
أ / هيا الشمري الموجهه الفنية أ / إقبال البحراني رئيسة القسم أ / منيفة الشمري

6 إعداد أ /سماح عبدالله أ /مروة محمد بإشراف رئيسة القسم أ / منيفة الشمري
إعداد حاسوب أ / مروة محمد

7

8 يستنتج مشتقه داله الجيب باستخدام تعريف المشتقة ..*
الأهداف السلوكية يستنتج مشتقه داله الجيب باستخدام تعريف المشتقة ..* *يربط بين التمثيل البياني لداله الجيب والتمثيل البيانى لداله جيب التمام *يستنتج مشتقه داله جيب التمام باستخدام تعريف المشتقه *يوجد مشتقات بعض الدوال المثلثيه التى تحتوى على داله الجيب وجيب التمام *يثبت مشتقات الدوال المثلثيه الاخرى *يوجد مشتقات الدوال المثلثيه * يذكر معادله المستقيم *يوجد ميل المماس لمنحنى الداله *يذكر معادله ميل المستقيم العمودى *يوجد معادله المستقيم العمودى ( الناظم )لمنحنى داله مثلثيه عند نقطه

9 مشتقات الدوال المثلثية المشتقات ذات الرتب العليا والأشتقاق الضمني
الحــصص البنـــــــــد حصتين مشتقات الدوال المثلثية ( 4-2 ) قاعدة السلسلة ( 5 -2 ) 3 حصص المشتقات ذات الرتب العليا والأشتقاق الضمني ( 6 -2 )

10 Sin x cos x x ( 1 ) اثبات مشتقة مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
أوجد مشتقات الدوال التالية بالنسبه الى مستخدماً تعريف المشتقة x دعنا نفكر ونناقش ( 1 ) اثبات مشتقة Sin x مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) (2 ) اثبات مشتقة cos x

11 بإستخدام متطابقة مجموع زاويتين مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
f ( x ) = sin x ( 1 ) اثبات مشتقة sin x f ( x ) = lim sin ( x + h ) – sin x \ h h sinx cosh + cosx sinh بإستخدام متطابقة مجموع زاويتين f ( x ) = lim sin x cosh + cos x sin h – sin x \ h h f ( x ) = lim - sin x( 1 – cos h) + cos x sin h \ h h f ( x ) = - sinx lim ( 1 – cos h) ( 1 – cos h) \ sin h + cos x lim h h h h h مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) sin h sin h lim 1 . lim =0 h h ( 1 + cos h) h lim ( 1 + cos h) . f ( x ) = - sin x .( 0 ) + cos x. ( 1 ) \ h ( 1 + cos h) lim ( 1 – cos2 h) f ( x ) = cos x \ h h( 1 + cos h) lim = cos x dx sin 2 h sin x h h( 1 + cos h)

12 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
( sin x ) = cos x d dx المشتقة عندها = صفر مماس أفقي x y 1 π -2 π 2 -3 π ــ -π 2 π 2 π π 2 3 π 2 -1 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) ( cos x ) = - sin x d dx وبالمثل بالنسبة :

13 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
لذا سوف نلجا الي التعريف العام للمشتقة Cos x إثبات مشتقة ( 2 ) f ( x ) = cos x cosx cosh - sinx sinh بإستخدام متطابقة مجموع زاويتين f ( x ) = lim \ cos ( x + h ) – cos x h h = lim )cos x cos h ) – ( sin x sin h ) – cos x h h مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = lim )cos x cos h ) – cos x - lim ( sin x sin h ) h h h h =cos x lim cos h – 1 cos h – 1 sin h - sin x lim h h h h h = 1 lim cos h +1 . cos h +1 h =lim cos2 h – 1 h( cos h +1 ) h

14 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
=- lim Sin 2 h h( cos h +1 ) h =- lim Sin h . Sin h h( cos h +1 ) h =- lim Sin h Sin h lim h h h ( cos h +1 ) =- 1 x 0 = 0 cos x . Sin h مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) - sin x lim h ( cos h +1 ) (cos x . 0) – sin x = – sin x = – sin x d Cos x dx

15 مشتقات الدوال الجيبيه التدريس

16 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
d sin x = cos x dx مشتقة دالة الجيب هي موجب دالة جيب التمام مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d cos x = - sin x dx مشتقة دالة جيب التمام هي سالب دالة الجيب

17 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
ملاحظة قواعد الأشتقاق التي تم دراستها صحيحة في الدوال الجيبية مثال ( 1 ) صـ 100 y = x 2 sin x أوجد مشتقات الدوال التالية : a مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d y مشتقة ( ضرب دالتيين ) d d = sin x . ( x2 ) + x ( sin x ) dx dx dx = 2 x sin x + x 2 cos x

18 اذا كان قياس زاوية بالرديان فإن : مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
اذا كان قياس زاوية بالرديان فإن : تذكــــــــر x Sin x lim = 1 lim cos x = 1 X x X مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) lim sin x = 0 X tan x lim tan x = 0 lim = 1 X X x

19 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
مثال( 1)صـ 100 u = cos x b b 1 – sin x d d = du (1 – sin x) cos x - cos x . (1 – sin x) dx dx dx ( 1 – sin x ) 2 قاعدة القسمـــــة = (1 – sin x) (- sin x ) - cos x (0 – cos x) ( 1 – sin x ) 2 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = - sin x + sin 2 x + cos 2x ( 1 – sin x ) 2 = 1 = 1 – sin x ( 1 – sin x ) 2 = 1 1 – sin x

20 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
حــــل آخـــــر u = cos x 1 + sin x . 1 – sin x 1 + sin x u = cos x (1 + sin x) 1- sin 2 x u = cos x (1 + sin x) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) cos 2 x u = (1 + sin x) cos x d d = du cosx . ( ( 1 + sin x ) – ( 1 + sin x ) cosx dx dx dx cos 2 x = cosx cosx du - ( 1 + sin ) - sin x dx cos 2 x

21 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
= du cos 2x + sin x +sin 2 x dx cos 2 x = ( 1 + sin x ) cos 2 x = du ( 1 + sin x ) dx 1 - sin 2 x = ( 1 + sin x ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) (1- sin x ) ( 1+ sin x ) = 1 (1- sin x )

22 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
أوجد المشتقات الداله التالية مثال ( 1 ) صـ100 f ( x ) = sin 2 x c في هذا البند لاتحل إلا بهذه الطريقة f( x ) = sin 2 x d d dx dx = ( sin x . sin x ) d dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) =sin x ( sin x) + sin x ( sin x ) d d dx dx = sin x . cos x + sin x . cosx = 2 sin x cos x = sin2 x

23 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
حاول ان تحل (1 ) صـ101 (( أوجد المشتقات للدوال التالية )) الحــــل h (x ) = cos 2 x a h (x ) = cos 2 x d d dx dx h ( x ) = cos 2 x حل أخر = ( cos x . cos x ) d h ( x ) = (cos x)2 dx d d h ( x ) = (cos x)2 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = cosx dx dx d + cosx cosx d . cos x = 2 (cos x). ( - sin x ) dx dx = - 2 sin x cos x = cos x . ( - sin x ) + cos x ( - sin x ) هذا الحل يمكن استخدامه بعد دراسة قاعدة سلسلة القوي = - 2 sin x cos x = - sin2 x

24 لاحظ h ( x ) = cos ( x) 2 h ( x ) = cos 2 x ( cos x ) 2 ( cos x ) 2 X

25 حاول ان تحل ( 1 ) ( ) صــــــــ 101 اوجد مشتقة الدالة التالية
حاول ان تحل ( 1 ) ( ) صــــــــ 101 b اوجد مشتقة الدالة التالية g ( x ) = x الحـــــــــــــــــل Cos x قاعدة القسمة ( المقام × مشتقة البسط ) – ( البسط × مشتقة المقام ) 2 ( المقام ) d d -x d cosx x cosx g (x )= dx dx = x tan x dx sec x sec x ( cos x ) 2 = (cosx . 1) – [x . ( - sin x )] = ( 1 + x tan x ) ( cos x ) 2 sec x = cos x + x sin x ( cos x ) 2 = cos x 1 x sin x + cos x . cos 2 x cos x cos x cos 2 x cos x sec x sec x tan x

26 تطبيق قوانين النسبه المثلثية
y = حاول ان تحل صـــ 101 رقم Sin x c قاعدة القسمة Sin x + cosx الحـــــــــل d d = (Sin x + cos x) Sin x -sinx ( sin x + cos x ) d dx dx dx ( Sin x + cos x)2 = ( sin x + cos x ) . Cos x – sin x ( cosx + - sin x ) Sin 2 x + cos2 x + 2 sin x cosx = Sin x cos x + cos 2 x 1 – sin x cos x + sin2 x 1 + 2 sinx cos x = 1 sinx cos x تطبيق قوانين النسبه المثلثية = 1 Sin 2 x = 2 sin x cos x 1 + Sin 2 x

27 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
حل آخر y = Sin x Sin x – cos x . Sin x + cosx Sin x - cos x مناقشة y = Sin 2 x cos x sin x Sin 2 x cos2 x مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )

28 اوجد (cscx) (cot x) (secx)
(1)ورقه عمل مشتقات الدوال المثلثيه مشتقه داله الجيب هي موجب داله جيب التمام (sinx)=cosx d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx d dx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (cscx) (tanx) (cot x) (secx) d dx d dx d dx d dx

29 (1)ورقه عمل اوجد مشتقات الدوال المثلثيه
(sinx)=cosx مشتقه داله الجيب هي موجب دال جيب التمام d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx d dx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (tan x) d dx

30 (1)ورقه عمل اوجد مشتقات الدوال المثلثيه
(sinx)=cosx مشتقه داله الجيب هي موجب دال جيب التمام d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx d dx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (cot x) d dx

31 اوجد مشتقات الدوال المثلثيه (1)ورقه عمل (sinx)=cosx
مشتقه داله الجيب هي موجب داله جيب التمام d dx (cosx)=-sinx d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (sec x) d dx

32 اوجد مشتقات الدوال المثلثيه (1)ورقه عمل
مشتقه داله الجيب هي موجب دال جيب التمام (sinx)=cosx d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (csc x) d dx

33 مشتقات الدوال المثلثية الأخري
ثانياً الدالتان ، دالتان قابلتان للاشتقاق ، لذا فإن الدوال المثلثية التالية هي ايضا ًقابله للاشتقاق عند كل قيمه للمتغير تكون معرفه عندها f ( x) = sin x g ( x) = cos x X tan x= Sin x 1 Cos x d d ( tan x) = Cosx Cos x Sin x - Sin x - Sin x Cosx d dx dx dx (Cos x)2 = Cos 2x + sin 2x Cos 2 x = 1 = 1 Cos 2 x = Sec 2 x d dx tan x = sec 2 x = 1+ tan 2 x

34 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
cot x= Cos x نعلم أن 2 sin x d dx d dx Cos x Cot x = sin x d dx d dx = sin x - Sin x Cos x - Cos x Cos x sin x قاعدة القسمة sin2 x مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) - Cos 2 x - sin 2x -1 = = Sin 2x Sin 2x x = - csc 2 d dx 2 cot x = - csc 2 x = - ( 1+ cot 2 x)

35 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
نعلم ان 1 Sec x = Cos x d dx - 1 . ( Cos x ) d dx سالب الثابت مشتقة المقام X Sec x = ( Cos 2 x ) ( المقام ) 2 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d dx -( - sin x) Sin x Sec x = = ( Cos x ) 2 ( Cos x ) 2 Sin x 1 = . Cos x = tan x sec x Cos x d dx 3 Sec x = sec x tan x

36 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
csc x= نعلم أن 1 4 sin x d dx d dx 1 Csc x = ( ) sin x d dx - 1 ( ( sin x )) = ( sin x ) 2 - ( cos x ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = sin 2 x - Cos x 1 . = - Cot x Csc x sin x sin x d dx 4 Csc = - Cot x . Csc x

37 ملحوظة = 1+ tan 2 x = - ( 1+ cot 2 x)
الدوال المثلثية الأخري هي ايضاً دوال قابلة للاشتقاق عند كل قيمة للمتغير تكون معرفة عندها وتعطي مشتقاتها بالقواعد السابق برهانها وهي X d dx 1 tan x = sec 2 x = 1+ tan 2 x d dx 2 cot x = - csc 2 x = - ( 1+ cot 2 x) d dx 3 sec x = -sec x tan x d dx 4 csc x = - csc x cotx

38 أوجد مشتقة الدالة التالية مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
مثــــال ( 1 صـ 102) f( x ) = tan x + cot x f ( x ) = sec2 x + ( - csc 2x) \ f ( x ) = sec 2 x - csc 2 x \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) يمكن حل عن طريق فك كل من f ( x ) Sin x tan x = Cos x Cos x Cot x= Sin x

39 أوجد مشتقة الدالة التالية
مثال 2( ) صـ 102 أوجد مشتقة الدالة التالية b حل أخــــــــر g( x ) = sec x ( 1 + sin x ) b g ( x ) = sec x (1 +sin x) + ( 1 +sin x ) (secx) g( x ) = sec x + \ \ \ sin x secx tanx g( x ) = sec x (cosx) + ( 1 +sin x ) (secx.tanx) \ g ( x ) = ( sec x + tan x) d dx \ g ( x ) = sec x (cosx) +secx.tanx +secx .tanx .sinx \ g ( x ) = sec x tan x d dx \ d dx g ( x ) =1 + secx .tanx + secx .tanx .sinx \ g ( x ) = sec x.tan x + sec 2x \ g ( x ) =1 + secx .tanx + tan 2x \ 1 + tan 2 x g ( x ) = 1+sec x tan x +tan 2 x \

40 أوجد مشتقة الداله التالية مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
مثال 2( ) صـ 101 c h( x ) = csc x + sin x . tan x h( x ) = csc x (sin x . tanx) \ d dx d dx h( x ) = - csc x. Cot x + ( sin x tan x + tan x Sin x ) \ d dx d dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) h( x ) = - csc x. Cot x + sin x . sec2x + tan x . Cos x \ h( x ) = - csc x. cot x + sinx. secx .secx + \ sinx tan x cosx cosx h( x ) = - csc x. cot x + \ tanx secx +sin x

41 أن ميل المماس = المشتقة الأولي مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
تـــــــذكــــــــر أن ميل المماس = المشتقة الأولي معادلة المستقيم y – y 1 = m ( x – x 1 ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) هو ميل المستقيم (( المماس للمنحني )) m معادلة المستقيم العمودي y – y 1 = ( x – x 1 ) - 1 m نقطة التماس ( x 1 , y 1 ) ميل المستقيم العمودي = - 1 m

42 نوجد أولاً مشتقة الدالة
مثال3 صـ 101 اوجد معادلة المستقيم العمودي لمنحني الدالة عند النقطة π p) , 1 ) y = tan x 4 ( tan x ) = sec 2 x dy dx d dx = نوجد أولاً مشتقة الدالة = sec = ( ) = 2 dy dx 2 4 π 2 4 π X = هو وعليه ميل المستقيم العنودي للمنحني عند - 1 - 1 4 π p) , 1 ) = m 2 معادلة المستقيم العمودي y – y 1 = ( x – x 1 - 1 m y – 1 = ( x ) - 1 4 π 2 y – 1 = X + - 1 8 π 2 - 1 y = X 8 π 2

43 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
حاول ان تحل صـ 101 رقم 3 اوجد معادلة المستقيم العمودي لمنحني الدالة عند النقطة 3 π F ( , 2 ) y = sec x = ( sec x ) dy dx d dx وعليه ميل المستقيم العمودي للمنحني عند هو F ( , 2 ) 3 π - 1 -1 m = = m 2 3 = sec x tan x dy dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) معادلة المستقيم العمودي - 1 3 π y – 2 = ( x ) = sec ( ) tan ( ) 2 3 dy dx 3 π 3 π 3 π X = معادلة المستقيم العمودي = 2 3 π - 1 y = x+ +2 2 3 6 3

44 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
حاول ان تحل صـ 101 رقم ( 1 ) b حل أخر قاعدة الضرب g ( x ) = x . 1 Sec x Cos x d d = X . ( sec x ) + sec x x dx dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = X sec x tan x + sec x . 1 = sec x(x tan x + 1 )

45 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
حاول ان تحل ( 2 ) صـ102 أوجد اشتقاق الدوال التالية : f(x)= 1+tanx 4 tanx يمكن استخدام قاعدة القسمة d dx \ 1 tan x f (x) = [ ] + tanx tan x f ( x ) = ( cot x + 1 ) d dx \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) cotx d dx d dx = = - csc 2 x

46 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) يمكن حلها بإستخدام قاعدة القسمة
حاول ان تحل صـ 102 b g( x ) =sec cscx x خطأ مطبعي g( x ) = sec x (cscx) \ d dx d dx g( x ) =secx tanx - csc x. Cotx \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) h(x)= secx حاول ان تحل صـ 102 c cscx h (x)= sec 2x h(x) = \ يمكن حلها بإستخدام قاعدة القسمة h(x)= tan x

47 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
كراسة تمارين ( 5 ) صـ 41 أوجد مشتقة الدالة عند tan x π 4 x x x sec2x – tan x x2 y = قاعدة القسمة \ \ y 8 ( π – 2) π2 = مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )

48 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
كراسة التمارين ( 6 ) أثبت ان منحني كل من الدالتين له مماس أفقي عند (6) 1 Cos x y = X= 0 ,y = cosx 1 Cos x y = y = cosx y = secx y = - sin x \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) y = secx tanx \ =- sin0 dy dx = 0 dy dx X= 0 = secx tanx = dy dx = 0 sec0 tan0 X= 0 لهما مماس افقي عند X= 0

49 أختبار الوحدة الثانية صـ 46 رقم ( 3 ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
أوجد مشتقة الدالة أختبار الوحدة الثانية صـ 46 رقم ( 3 ) g( x ) = 2sinx cosx g( x ) =2(sinx cosx + cosx sin x d dx d dx \ g( x ) = 2 ( -sin2 x + cos2 x ) \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) g( x ) = 2 (cos 2 x - sin 2x) \ 2cos 2x

50 مخطط توضيحي لمشتقة الدوال المثلثية
Sin x مشتـــــقة مشتـــــقة - cos x cos x مشتـــــقة مشتـــــقة - Sin x d dx d dx sin x = cos x d dx -cos x = cos x = - - sin x = sin x 1 3 d dx d dx d dx cos x = -sin x 4 -sin x= sin x = - cos x = - cos x 2

51 مخطط توضيحي لمشتقة الدوال المثلثية الأخري
tan x d dx x sec x sec x d dx X tan x = sec 2 x d dx d dx sec x = tan x sec x

52 cot x - csc x csc x cot x = - csc 2 x d dx d dx d dx x d X dx