المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية

عرض تقديمي عن الموضوع: "المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية"— نسخة العرض التّقديمي:

1 المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية
وزارة التربية المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية ألأدارة العامة لمنطقة الفروانية التعليمية ثانوية درة الهاشيمية قسم الرياضـــيات

2 ورشة عمل في منهج الثاني عشر علمي مشتقات الدوال المثلثية
الوحدة الثانية مشتقات الدوال المثلثية بند ( 2 – 4 ) ( 2 – 5 ) ( 2 – 6 )

3 قسم الرياضيات الموجهه الأولي أ / جميلة البيدان مديرة المدرسة
أ / هيا الشمري الموجهه الفنية أ / إقبال البحراني رئيسة القسم أ / منيفة الشمري

4 إعداد أ /سماح عبدالله أ /مروة محمد بإشراف رئيسة القسم أ / منيفة الشمري
إعداد حاسوب أ / مروة محمد

5 *يوجد المشتقات العليا للداله *يعرف الاشتقاق الضمنى
الأهداف السلوكية *يوجد المشتقات العليا للداله *يعرف الاشتقاق الضمنى

6 المشتقات ذات الرتب العليا ولأشتقاق الضمني
التدريس

7 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مناقشة دعنا نفكر ونناقش لتكن f ( x ) = x 4 – 3 x 2 + 5 \ \ f ( x ) = 4 x x = g ( x ) أ كمـــــــــــــــل g ( x ) = 12 x \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) \ \ ) f ( x )) = 12 x 2 – 6 هــــــــــــــــل \ \ g ( x ) = \ ) f ( x ))

8 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
أولاً : المشتقات ذات الرتب العليا d y d x رمزنا سابقاً لمشتقة داله علي مجالها بالرمز والأن سوف تسمي المشتقه من الرتبه الأولي للداله بدلاله المتغير y = \ y \ X y والمشتقه الأولي نفسها ( ) يمكن ان تكون داله قابله للاشتقاق علي مجالها بدلاله المتغير وبالتالي يمكن كتابتها : y \ X مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = = \\ d y d x \ d dx d y d x d2 y d x2 [ ] وهذه تسمي المشتقه من الرتبه الثانيه للداله بدلالة والمشتقه الثانيه نفسها يمكن ان تكون داله قابله للاشتقاق علي مجالها بدلالة المتغير وبالتالي يمكن كتابة : X y X y = = = \\\ d) y ( d x \\ d dx d2 y d x 2 d3 y d x 3 [ ]

9 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
وهذه تسمي المشتقه من الرتبه الثالثة للداله بدلالة : X y وبصوره عامه إذا كان عدداً صحيحاً حيث فإن مشتقة الداله من الرتبه بدلالة هي علي الشكل التالي : n > 1 n x n y y (n ) = d dx d n y d xn [ y ( n – 1) ] = مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) تذكــــر a y = f ( x ) d y d x b = y \

10 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
ملاحظه احيانا ً نستخدم قاعده السلسله مرتين أو اكثر لإيجاد مشتقه مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) ملاحظه لايجب الخلط بين رتبه مشتقه الداله , من قوي y y n y (n )

11 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال (1) صـ 109 اوجد المشتقات حتي الرتبه الرابعه للداله بدلاله المتغير y = 2 x 7 – 4 x x – 5 X الحـــــــل y = 2 x 7 – 4 x x – 5 y = = 14 x 6 – 8 x + 3 d y d x مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = 84 x 5 – 8 \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = 420 x 4 d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة y ( 4 ) = = 1680 x 3 d4 y d x4 مشتقه من الرتبه الرابعة

12 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول ان تحل ( 1) صـ 109 اوجد المشتقات حتي الرتبه الثالثة للداله بدلاله المتغير y = 4 x 5– 5x 3 + 7 X الحـــــــل y = 4 x 5– 5 x 3 + 7 y = = 20 x 4 – 15 x 2 d y d x مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = 80 x 3 – 30 x \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = 240 x d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة

13 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال (2 ) صـ109 اذا كانت بين ان y ( 4 ) = y y = sin x الحـــــــل داله معرفه لكل قيم علي R y y = sin x X y = =cos x d y d x ماذا نلاحظ مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = - sin x \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = - cos x d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة y ( 4 ) = = sin x d4 y d x4 مشتقه من الرتبه الرابعة y ( 4 ) = y

14 - cos x cos x y ( 4 ) + y = Sin x مشتـــــقة مشتـــــقة مشتـــــقة
\\ Sin x مشتـــــقة مشتـــــقة - cos x cos x مشتـــــقة مشتـــــقة - Sin x

15 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول ان تحل ( 2 )صـ 109 اذا كانت بين ان y ( 4 ) + y = 0 y = cos x \\ الحـــــــل داله معرفه لكل قيم علي y = cos x R y X y = = sin x d y d x مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = - cos x \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = sin x d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة y ( 4 ) = = cos x d4 y d x4 مشتقه من الرتبه الرابعة y ( 4 ) + y = cos x +( - cos x ) = 0

16 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال ( 3 ) صـ110 أوجد حيث y = 1 Cos x \\ y الحـــــــل y = 1 Cos x y = sec x y = =sec x tan x d y d x \ y = ( sec x tan x) d dx \\ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) = tan x sec x + sec x tan x d dx d dx = tan x . Sec x .tanx + sec x .sec 2 x = sec x tan 2x + sec 3 x

17 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول ان تحل (3)صـ110 أوجد حيث y = 1 sin x \\ y الحـــــــل y = 1 sin x y = csc x y = = - csc x . cot x d y d x \ y = ( -csc x . cot x) d dx \\ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) = - csc x . – csc 2 x + cot x . cot x . csc x = csc x . cot 2x + csc 3x

18 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
يمكن ايجاد مشتقات بعض الدوال علي الصوره y = 3 x 2 – 2x + 1 y = x 2 + 4 y – x y = x y ( 1 – x ) =x y = f ( x ) 1 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) 3 x y = 1 – x حيث يمكن كتابتها بالصوره الصريحه ومنه يمكننا ايجاد مشتقة الداله او ميل المنحني y =f (x )

19 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
منحني الدالة نجد ان ميل المنحني معرف عند جميع نقاطه بأستثناء النقطتين ( 0 ، 5 ) ، ( 0 ، 5- ) 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 X 2 + y 2 = 25 f(x ) = 25 – x2 المنحني هو اتحاد منحنيي الدالتين قابلتين للاشتقاق عند اي نقطة في مجالها عدا 5 ، 5- y 1= f1(x ) = – x2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y 2= f2(x ) = 25 – x2 f(x ) = – x2

20 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
هل يمكن ايجاد ميل المنحني اذا كان من غيرالممكن التوصل للصورة الصحيحة للحصول علي الدوال المكونه لها نلاحظ في الدوال السابقه يصعب فصلها , وكتابتها علي الصورة الصريحة لذلك نلجأ للاشتقاق الضمني 1 y 2 – 2 x y + 3x = 0 x y y = 0 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)

21 y x y=f(x) f (x,y ) (4)ورقه عمل تعريف
يكون المتغيرالمستقل فى طرف والمتغير التابع فى الطرف الاخر وهى على الصوره y x الدالة الصريحة y=f(x) الدالة الضمنيه هى داله تربط بين متغيرين يصعب فصلهما وتكون علي الصورة f (x,y ) :بين اى الدوال الاتيه دالة صريحه وايا منها دالة ضمنيه y= 4xy+y 2 y=x 2+3 x+ 1 y3=x 3 + x y ومن ثم 1 2 3

22 (5)ورقه عمل اوجد في كل مما يلى : dy dx X 2+2xy-y 2=7 y=x5+3x3-4x y=2x3 +7 f(x) =x2+3x 1 2 3 ماذا تلاحظ؟

23 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال توضيحي أوجد حيث d y d x y y 2 – x 3 = 0 االحـــــــــــــــــل y = f ( x ) وبالتعويض في المعادلـــــة نفــــــــــــــرض أن مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) (f( ( x )) ( f ( x ))2 – x 3 = 0 وبإستخدام قاعدة السلسلة نوجد المشتقه فتكون كالتالي \ 3(f ( x )) 2 . f ( x ) + 10 f( x) . f ( x ) – 3 x 2= 0 \ \ 3 y 2 y y y - 3 x 2 = 0 \ أي أن وبحل هذه المعادله للحصول علي \ y) 3 y y (= 3 x 2 يتم حذفها

24 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
) 3 y y ( 3 x 2 \ y = وبإستخدام نفس الخطوات المتبعه في المثال التوضيحي يمكننا التوصل الي ان : ( y 2 ) = 2 y y , ( y 3 ) = 3 y 2 y \ \ \ \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)

25 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
عموما ً تتم عملية الأشتقاق الضمني وفق الخطوات التالية علي الترتيب : اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x 1 تجميع الحدود التي تحتوي أو في احد اطراف المعادلة y \ d y d x 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) إخراج أو كعامل مشترك \ d y d x 3 y كتابة المعادلة علي صورة أو بدلالة ، \ d y d x x y y 4

26 في الحالات التاليه اوجد d y d x y =
مثال ( 4 ) صـ 111 \\ في الحالات التاليه اوجد d y d x \ y = الحـــــــل y 2 + x y = 7 x a نشتق طرفي المعادله بالنسبه للمتغير بإعتبار أن داله في قابله للاشتقاق وتطبيق قاعدة السلسله هو : X y X 2 y y + x y + y = 7 \ \ y ( 2y + x (=7 – y \ ) 2 y + x ( 7- y \ y =

27 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال ( 4 ) صـ 111 y = x + x 2 y 5 b = ( x 2 y 5 ) dy dx dx d dx y = 1 + y x 2 \ d( x 2 ) dx d(y 5 ) dx y = x y y4y x 2 \ \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y - 5 y4y x 2 = = x y 5 \ \ y ( y4 x 2 ) = = x y 5 \ ) y4 x 2 ( \ 1 + 2 x y 5 y =

28 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول ان تحل رقم ( 4 ) صـ 112 \\ لتكن ، اوجد d y d x \ y = y 2 = x 2 – 2 x الحـــــــل y 2 = x 2 – 2 x 2 y y = 2 x – 2 \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y y = x – 1 \ y X – 1 \ y =

29 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال ( 5 ) صـ 112 أوجد ميل المماس للمنحني ( الدائره ) الذي معادلته x 2+ y 2 = 25 عند النقطة ( 3 , - 4 ) الحـــــــل يمكننا ايجاد ميل المنحني عند النقطه بسهوله بإستخدام الأشتقاق الضمني للمعادله الأصليه بالنسبه الي ( 3 , - 4 ) X d d x d d x d y d x - x y ( x 2 + y 2 ) = ( 25 ) = مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) d d x d d x x 2 + y = 0 بالتعويض d y d x - 3 - 4 3 4 = = d y d x 2 x + 2 y = 0 ( 3 , - 4 ) d y d x 2 y = - 2x ميل المماس = 3 4

30 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول أن تحل ( 5 ) صـ 112 أوجد ميل المماس للمنحني الذي معادلته (1 ، 1 ) عند النقطة X 2 - y 2 + y x – 1 = 0 الحـــــــل X 2 - y 2 + y x – 1 = 0 وبالتعويض ب ( 1 ، 1 ) \ \ 2 x– 2 y y + y + y x= 0 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = 3 2 x + y + y ( - 2 y + x ) = 0 \ 3ميل المماس المنحني = \ y ( - 2 y + x ) = - (2 x + y) ) x – 2 y ( (- 2x - y ) \ y =

31 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال ( 6 ) صـ113 أوجد ميل المماس للمنحني الذي معادلته 2y = x 2 + sin y ( 2 π, 2 π) عند النقطة الحـــــــل d d x d d x ( 2y ) = ( x 2 + sin y ) dy d x d d x d d x π 2 –1 = ( x 2) ( sin y ) مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) = d y d x dy d x = 2x +cos y = π d y d x ( 2 – cos y ) = 2 x ميل المماس المنحني π d y d x 2( π) 2 –cos(2π) = بالتعويض ( 2 π, 2 π)

32 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول أن تحل ( 6 ) صـ 113 أوجد ميل المماس للمنحني الذي معادلته X ǂy حيث (2 ، )عند النقطة 1 2 X 2 + y y x = 1 الحـــــــل تعديل تعديل X 2 + y y x = 1 ) x – y ( X - y 2 X +2 y y – 2( x y + y ) = 0 \ \ \ y = = 1 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) 2 X +2 y y – 2 xy - 2 y = 0 \ \ X + y y –x y - y = 0 ميل المماس = 1 \ \ X – y + yy - x y = 0 \ \ X – y = y ( x – y ) \

33 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
مثال( 7) صـ113 للمنحني الذي معادلته اوجد ثم أوجد ميل المماس لهذا المنحني عند النقطه ( 1 ، 3 ) 2 y + y = x y \ الحـــــــــل 2 y y = x 1 2 الأشتقاق الضمني y y + y = x -1 2 y 1 2 \ \ y \ = مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y 1 y 2 . y + y = 1 \ \ بالتعويض بـ ( 1، 2 ) y \ 1 = 1 2 = 1 + 1 \ 1 y y ( ) =1 ميل المماس = 1 2 \ 1 y = + 1 1 y

34 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول ان تحل صـ 114 رقم ( 7 ) للمنحني الذي معادلته اوجد ثم أوجد ميل المماس لهذا المنحني عند النقطه ( 1 ، 1 ) y y + x 2 = 3 y \ الحـــــــل y 2 +( y ) x 2 = 3 1 2 الأشتقاق الضمني 2 y y y y x = 0 \ \ -1 2 - 2 x 1 2 y \ = 1 y 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) 2y + 2 y y y y = - 2x \ \ -1 2 1 2 -2 = - 4 5 بالتعويض بـ ( 1، 1 ) y \ = y ( 2 y y ) = - 2 x 1 2 -1 2 + 2 \ 1 2 ميل المماس = -4 5 \ -2x y = -1 2 2y y 1 2

35 لتكن حيث مثال ( 8) صـ 114 إذا كانت فأثبت أن y y + ( y ) 2 = 0
إذا كانت فأثبت أن \\ y y + ( y ) 2 = 0 \ y = – 2 x الحـــــــل لتكن حيث y = ( g o h ) ( x ) 1 \ g(x )= x g(x )= x 2 \ \\ -1 h ( x)= 1 – 2 x h ( x)= – 2 y = (1 – 2 x) 1 – 2 x -1 1 1-2x 1-2x - ( - 1 ) g( h(x))= 1-2x (0) 2 y = 1 – 2 x ( ) 2 y = g ( h (x)).h (x) \ \ -1 = 1 1-2x 1-2x . -2 \\ 2 y = 1 – 2 x ( ) 2 = -1 1-2x

36 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
\\ - 1 -1 yy +( y ) 2 = \ 1 – 2 x + ( ) 2 ( 1 – 2 x) 1 – 2 x 1 – 2 x -1 1 = + = 0 1 – 2 x 1 – 2 x مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)

37 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
حاول ان تحل صـ114 رقم8 إذا كانت فأثبت أن \\\ \ y + y +2 sin x= 0 y = x sinx الحـــــــل y = x sin x y = x cosx + sinx \ y = - x sinx + cosx +cosx \\ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = 2cosx – x sin x \\ y = - 3 sin x – x cosx \\\ y + y +2sinx = - 3 sin x – x cosx + xcosx+ sin x + 2sinx \\\ \ y + y +2sinx= \\\ \ - 3 sin x + + 3sinx y + y + 2sinx = 0 \\\ \

38 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)
أوجد في حيث كراسةالتمارين ( 13 ) صـ45 y - y = sinx \\ A sinx + Bcosx A , B y = \ A cosx - Bsinx الحـــــــــل y = \\ - A sinx - Bcosx مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) ∵ y - y = sinx \\ ∴ - A sinx - Bcosx - A sinx - Bcosx = sin x - 2A sin x -2 B cos x = sin x + 0 يمكن حلها باستخدام المعادله التفاضليه 1 -1 2 - 2A= A = y = -y \\ - 2 B= B = 0

39 2 x ( 1 – x2 )2 f (x) = 2 + 6x2 ( 1 – x2 )3 f (x) = 24x + 24 x3
\ 2 + 6x2 ( 1 – x2 )3 f (x) = \\ 24x + 24 x3 ( 1 – x2 )4 f (x) = \\\ 24x + 24 x3 ( 1 – x2 )4 = ( 1 – x2). 2 + 6x2 ( 1 – x2 )3 - 6 x 2 x ( 1 – x2 )2 - 6 . = 0

40 الحـــــــــــــــــل مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
d 745 سؤال للمناقشة ( sin x ) أوجــــــــــــد dx 745 y = sin x الحـــــــــــــــــل y = cosx \ 0.25 y = - sin x \ \ 0.5 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) y = - cosx 0.75 \ \ \ y = sin x (4) 1 745 ÷ 4 = sin x= y = cos x d 745 \ dx 745

41 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )
ملاحظـــــــة إذا كان الجزء العشري من ناتج القسمة علي 4 0.25 y \ 0.5 y \ \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) 0.75 y \ \ \ y 1 إذا كان خارج القسمة علي 4 عدد صحيح

42 مشتقات الدوال المثلثية
تذكـــــــر ميل نقطة معلومه نوجد مشتقة الدالةعند النقطة = ميل المماس للمنحني عند النقطة = معادلة المستقيم (المماس ) y -y 1 = m ( x – x1 ) معادلة المستقيم العمودي y – y 1 = (x – x1 ) لتكوين معادلة المستقيم m 1 2 -1 m

43 = . u قاعدة السلسلة (Chain Rule) قاعدة سلسلة القوي لدينا فإن u=g(x)
لدينا قابله للاشتقاق عند ولدينا قابله للاشتقاق عند g(x) f y=f(u) x g إذا كان قابله للاشتقاق علي مجالها ، عدداً نسبياً فإن f(x) n فإن الداله المركبه ( f o g ) (x)=f(g(x)) n-1 n خطوات إيجاد \ \ (fog) (x) خطوات إيجاد 1 f (x ) \ نوجد 1 نوجد g (x ) \ 2 نوجد 2 نوجد \ 3 f (g (x )) نوجد إذا لم يحدد اي صورة من قاعدة السلسلة فيمكننا اختيار احدي الحالات = . نوجد \ 3 4 ( fo g) (x ) نوجد \ = f (g (x)) . g (x) \ u ثم التعويض عن 4 ملحوظه تقتصر دراستنا علي الدوال القابله للتركيب

44 مشتقات الدوال المثلثية (Sin x) =cos x (cosx) =-sin x y’’ =-y
d dx (sin (f (x))=)cos f(x)).f (x) d dx 1 \ ملحوظة (cosx) =-sin x d dx (cos (f (x))=)-sin f(x)).f (x) d dx \ d dx tan x = sec 2 x (tan (f (x))=)sec2 f(x)). f (x) d dx \ y’’ =-y Y(4) =y فى الدوال المثلثيه (sin x ,cosx,) d dx (cot (f (x))=)-csc2 f(x)).f (x) cot x = - csc 2 x d dx \ d dx (sec (f (x))=)sec f(x).tan f (x)).f (x) sec x = sec x tan x d dx \ (csc (f (x))=-csc (f(x)). Cot f (x).f (x) d dx csc x = - csc x cotx \ d dx فى الدوال = = (f (x) ( d dx d dx 1 2 \ \