قياس الزوايا والأقواس الدائرة ومحيطها الزوايا المحيطية الأقواس والأوتار القاطع والمماس المماسات معادلة الدائرة قطع مستقيمة خاصة الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الدائرة ومحيطها تعريف الدائرة :- هي مجموعة نقط المستوى التي تبعد بعد ثابتا عن نقطة ثابتة في المستوى تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة ويسمى البعد الثابت نصف قطر الدائرة ب الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثــــــــــــــــال الصفحة الرئيسية السابق التالي

ملاحظة بمثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

القطعة المستقيمة الواصلة بين مركزي دائرتين متقاطعتين تحتوي على نصف قطر كل منهما إذا كانت أكبر من كل نصفي القطرين. الصفحة الرئيسية السابق التالي

محيط الدائرة محيط الدائرة هو طول الخط الذي يحيط بالدائرة من الخارج ويرمز له بالرمز c إذا كان طول محيط الدائرة C وحدة، وطول القطر d وحدة، أو كان نصف القطر r وحدة، فإن المحيط يُعبر عنه بالعلاقتين C = πd أو .C = 2πr الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال أوجد قيمة x في كلٍّ مما يأتي: الصفحة الرئيسية السابق التالي

N NC DF EF 8 26 ft 15 5 الصفحة الرئيسية السابق التالي

السابق التالي = 144 + 64 = 208 D = 14.5 R VU لا وتر RT = 8.1 الصفحة الرئيسية السابق التالي

7.5 2.5 17.25 10.5 الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الزوايا والأقواس الزاوية المركزية : - هي زاوية رأسها مركز الدائرة وضلعاها أنصاف أقطار في الدائرة مجموع الزوايا المركزية في الدائرة ، والتي لا تحوي نقاطًا داخلية مشتركة وتغطي قطاعاتها كل الدائرة، يساوي 360 درجة. ° 360 = .m∠1 + m∠2 + m∠3 تجزّئ الزاوية المركزية الدائرة إلى جزأين، و يسمى كل جزء قوسًا، ويرتبط قياس كل قوس بقياس زاويته المركزية. الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الأقواس المتساوية الأقواس المتساوية القياس في دائرة أو في دوائر متطابقة تكون متطابقة. في الدائرة أو في الدوائر المتطابقة، يكون القوسان متطابقين إذا وفقط إذا كانت الزاويتان المركزيتان المناظرتان لهما متطابقتين. أقواس الدائرة التي تشترك في نقطة واحدة أو نقطتين فقط تكون أقواسًا متجاورة. وكما في الزوايا المتجاورة، فإنه يمكن جمع قياسات الأقواس المتجاورة. الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

التمثيل بالقطاعات الدائرية في التمثيل البياني بالقطاعات الدائرية، تقسم الزوايا المركزية الدائرة إلى أجزاء أو قطاعات لتمثيل بيانات معينة، تُعطى عادة كنسب مئوية، و يتناسب قياس الزاوية المركزية مع النسبة المئوية الممثلة لها. الصفحة الرئيسية السابق التالي

السابق التالي X = 360 – 210 = 150 X = 360 – 190 = 170 نصف دائرة أصغر أكبر الصفحة الرئيسية السابق التالي

السابق التالي = 75 + 72 = 147 = 90 + 90 + 75 = 255 = 90 + 33 = 123 = 75 + 72 = 147 = 90 + 90 + 75 = 255 = 90 + 33 = 123 13.7 cm 1.05 ft الصفحة الرئيسية السابق التالي

السابق التالي X = 35 X = 45 X = 225 X = 80 55 55 180 305 290 180 الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الأقواس والأوتار الصفحة الرئيسية السابق التالي

إثبات نظرية 8.2 الصفحة الرئيسية السابق التالي

الأوتار الناشئة عن الأقواس المتجاورة يمكن أن تكوّن مضلعًا الشكل الرباعي ABCD هو مضلع محصور داخل الدائرة لان رؤوسه تقع داخل الدائرة والدائرة E محيطة بكل رؤوس المضلع من جميع نواتجه الصفحة الرئيسية السابق التالي

الأقطار والأوتار الصفحة الرئيسية السابق التالي

- الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الزوايا المحيطية الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة وضلعاها وتران في الدائرة. إذا رسمت زاوية محيطية فإن قياس هذه الزاوية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. (أو قياس القوس المقابل للزاوية المحيطية يساوي ضعف قياس الزاوية). الصفحة الرئيسية السابق التالي

حالات الزوايا المحيطية الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال 1 السابق التالي المعطيات: ABC ∠ مرسومة داخل D⊙، و AB قطر فيها. المطلوب: اثبات أن m∠ABC = ارسم DC وافترض أن ° .m∠B = x البرهان: بما أن DB و DC نصفا قطرين متطابقان، إذن △BDC متطابق الضلعين، وأيضًا .∠B ≅ ∠C لذلك ° m∠B = m∠C = x . وبتطبيق نظرية الزاوية الخارجية، m∠ADC =m∠B + m∠C = 2x° . وبناءًا على تعريف قياس القوس ينتج أن ° mA ⁀C = m∠ADC = 2x ، وبمقارنة mA ⁀C و m∠ABC mA ⁀C = 2(m∠ABC )نجد أن . m∠ABC = الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال للزوايا المحيطية الصفحة الرئيسية السابق التالي

أقواس الدائرة والاحتمال الصفحة الرئيسية السابق التالي

مـــثــــــــــــــــــــــــال زوايا المضلع المحصور داخل الدائرة المثلث المحصور داخل دائرة والذي يكون أحد أضلعه قطرًا للدائرة هو مثلث من نوع خاص. إذا قابلت الزاوية المحيطية نصف دائرة، فإن هذه الزاوية تكون قائمة. مـــثــــــــــــــــــــــــال الصفحة الرئيسية السابق التالي

المثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

تابع الحل الصفحة الرئيسية السابق التالي

الشكل الرباعي الدائري الصفحة الرئيسية السابق التالي

تابع الحل السابق التالي إذا كان الشكل الرباعي محصورًا داخل دائرة، فإن الزوايا المتقابلة فيه تكون متكاملة. مثال: الشكل الرباعي ABCD محصور داخل .⊙P A∠ و C∠ زاويتان متكاملتان. B∠ و D∠ زاويتان متكاملتان. الصفحة الرئيسية السابق التالي

57 126 30 72 الصفحة الرئيسية السابق التالي

X = 54 X = 12 الصفحة الرئيسية السابق التالي

140 46 162 الصفحة الرئيسية السابق التالي

A CE ED الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

70 X = 16 طول الوتر 41 الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

المماسات في الشكل المقابل x y = مماس للدائرة عند النقطة x أقصر مسافة من مركز الدائرة إلى المماس، هي نصف القطر الواصل إلى نقطة التماس. وبما أن أقصر مسافة من نقطة إلى خط هي القطعة العمودية، فإنّ نصف القطر يكون عموديًّا على المماس. إذا كان مستقيم مماسًّا لدائرة، فإنه يكون عموديًّا على نصف القطر المار بنقطة التماس. في الشكل المقابل x y = مماس للدائرة عند النقطة x X w = نصف قطر الدائرة وهو اقصر مسافة بين المماس ومركز الدائرة الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثـــــــــــــــــــــال إذا كان ED مماسًّا ل F⊙ عند النقطة E كما في الشكل المجاور، فأوجد قيمةْْ x الصفحة الرئيسية السابق التالي

نظرية 8 .10 إذا تعامد مستقيم مع نصف قطر دائرة عند نهايته على الدائرة ، فإن هذا المستقيم يكون مماسًّا للدائرة. الصفحة الرئيسية السابق التالي

تحديد المماسات الصفحة الرئيسية السابق التالي

المماسان من نقطة واحدة خارجها يمكن أن يكون للدائرة نفسها أكثر من مماس من نقطة واحدة خارجها. إذا رُسمت قطعتان مستقيمتان مماستان لدائرة من نقطة خارجها فإنهما متطابقتان. الصفحة الرئيسية السابق التالي

أمثلة الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

القاطع والمماس وقياسات الزوايا التقاطع على الدائرة أو داخلها: يسمى المستقيم الذي يقطع الدائرة في نقطتين إذا تقاطع قاطعان داخل دائرة فإن قياس أي من الزوايا المتكوّنة من التقاطع يساوي نصف مجموع قياسي القوس المقابل لهذه الزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس. الصفحة الرئيسية السابق التالي

نظرية 8 . 12 الصفحة الرئيسية السابق التالي

الزاوية بين قاطعين الصفحة الرئيسية السابق التالي

نظرية 8.13 الصفحة الرئيسية السابق التالي

التقاطع خارج الدائرة الصفحة الرئيسية السابق التالي

التقاطع على الدائرة أو داخلها: يسمى المستقيم الذي يقطع الدائرة في نقطتين قاطعاً نظرية إذا تقاطع قاطعان داخل دائرة فإن قياس أي من الزوايا المتكوّنة من التقاطع يساوي نصف مجموع قياسي القوس المقابل لهذه الزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس. الصفحة الرئيسية السابق التالي

نظرية 8.12 الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

قطع مستقيمة خاصة في الدائرة الصفحة الرئيسية السابق التالي

نظرية 8.15 الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

نظرية 8.16 يمكن استعمال حاصل ضرب جزأَي القاطع مع نظرية القاطع والمماس. وفي هذه الحالة يكون المماس هو الجزء الخارجي والكلي للقطعة نفسها. وهذا ما تنص عليه نظرية 8.17 . الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

معادلة الدائرة السابق التالي الدائرة هى مجموعة من نقاط المستوى التى تبعد بعداً ثابتاً عن نقطة ثابتة وتسمى النقطة الثابتة بمركز الدائرة والبعد الثابت بنصف قطر الدائرة طول نصف القطر هو المسافة بين المركز وأي نقطة على الدائرة. افترض أن النقطة ( P(x, y هي نهاية أي نصف قطر، فتكون الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال السابق التالي ارسم المماسين. بما أن d = 14 ، فإن r = 7 . والمستقيم x = 4 عمودي على نصف قطر. وبما أن x = 4 خط رأسي فإن نصف القطر يقع على الخط الأفقي. عدّ 7 وحدات إلى اليسار من .x = 4 وأوجد قيمة h . h = 4 - 7 = -3 وبالطريقة نفسها، نصف القطر العمودي على الخط y = -1 يقع على خط رأسي. للأسفل من 1-. تادحو تساوي 7 قيمة k k = -1 - 7 = -8 وطول نصف إذن، فالمركز ( 8- , 3-) القطر يساوي 7. فمعادلة الدائرة هي: الصفحة الرئيسية السابق التالي

مثال الصفحة الرئيسية السابق التالي

( x – 3 )2 + ( y – 1 )2 = 25 ( x – 9 )2 + y2 = 25 r2 = 8 ( x – 0 )2 + ( y – 0 )2 = 8 x2 + y2 = 8 الصفحة الرئيسية السابق التالي

r2 = 81 ( x + 5 )2 + ( y – 3 )2 = 81 ( x – 3 )2 + ( y + 4 )2 = 13 الصفحة الرئيسية السابق التالي

r = 4 , ( 3 . -2 ) r = 2 , ( 0 . -1 ) r = 3 , ( -3 . 0 ) السابق التالي الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي

الصفحة الرئيسية السابق التالي