جامعة الملك عبدالعزيز _ كلية العلوم _ قسم الرياضيات الفصل الأول 2010 أستاذة المادة: المبني: المكتب: الساعات المكتبية: تحويلة المكتب: البريد الالكتروني: منسقة المادة: د. حنان باطرفي email: hbatarfi@kau.edu.sa 1 1 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

2 2 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

        الباب الاول مفاهيم اساسية في الجبر 3 3 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفصل 1-1 مبادئ المجموعات تعريف المجموعة: تجمع من الاشياء المعروفه والمحددة تحديدا تاما مثال: مجموعة الاحرف العربية، مجموعة طالبات الانتساب، مجموعة طالبات السنة التحضيريه ويرمز للمجموعات بالاحرف الكبيرة capital letters(عادة) مثل A, B, …, X, Y, Z اما الاشياء التي تتألف منها وتسمى عناصر فيرمز لها (عادة) بالاحرف الصغيرة small lettersمثل a, b, …., x, y, z. توضع عناصر المجموعه الواحدة بين {} فمثلا A={ a, 1, x, y} وتقرأ المجموعه A هي مجموعة العناصر a و 1 و x و y ونقول ايضا ان العنصر a ينتمي الى المجموعه A بكتابة aA او ان العنصر z لاينتمي الى المجموعه A بكتابة zA 4 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفصل 1-1 مبادئ المجموعات المجموعة الخالية: هي المجموعه التي لايوجد بها أي عنصر ويرمز لها بالرمز  (تنطق فاي) او { }. مثال: لنفترض ان X هي مجموعة الاعداد الفرديه التي تقبل القسمة على 2، أي أن X= او X={}. يعبر عن أي مجموعه باحدى الطريقتين: طريقة السرد (الحصر) طريقة الوصف يتم كتابة جميع العناصر عنصرا يتم ذكر صفة او خاصية تميز تلو الآخر داخل {} العناصر داخل {} مثال: X هي مجموعة الاحرف مثال: X={x: x المكونه لكلمة car أي {حرف من حروف car X={c, a, r}={a, r, c} وتقرأ المجموعه X مكونه من بأي تسلسل العناصر x حيث (وهي :) x هي حرف من حروف الكلمه car. 5 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

المجموعات المنتهية وغير المنتهية المنتهية: عدد محدود من العناصر غير المنتهية: عدد غير منتهي او غير محدود من العناصر مثال X={1,2,3,4} مجموعة منتهية Y={1,3,5,…} مجموعة غير منتهية المجموعة الجزئية نقول ان X مجموعة جزئي من Y اذا كانت جميع عناصر X تنتمي لـ Y وتكتب اما اذا كان عنصر على الاقل لاينتمي للمجموعة Y فنكتب المجموعة الخالية وهي مجموعة جزئية من أي مجموعة 6 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

مثال: اذا كانت A={2,3,4,5} و B={3,5,7} فان AB={2,3,4,5,7}. الفصل 1-1 مبادئ المجموعات رتبة المجموعة: ويرمز لها بالرمز |X| وتعني عدد عناصر المجموعة X. مثال: Y={1, 5,8} و X={a, b, c, d} فان |Y|=3 و |X|=4. ملاحظه: ||=0. Union اتحاد مجموعتين : أخذ جميع العناصر الموجوده في المجموعتين بدون تكرار. مثال: اذا كانت A={2,3,4,5} و B={3,5,7} فان AB={2,3,4,5,7}. 7 7 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

مثال: اذا كانت A={2,3,4,5} و B={3,5,7} فان A  B={3,5} الفصل 1-1 مبادئ المجموعات Intersection تقاطع مجموعتين : وهوايجاد العناصر المشتركه بين المجموعتين. مثال: اذا كانت A={2,3,4,5} و B={3,5,7} فان A  B={3,5} ملاحظه: اذا كان A B= فان المجموعتين منفصلتين أي لاتوجد بينهما عناصر مشتركه 8 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

عملية طرح مجموعة من أخرى Difference الفرق بين محموعتين A و B الفصل 1-1 مبادئ المجموعات عملية طرح مجموعة من أخرى Difference الفرق بين محموعتين A و B A-B جميع العناصر التي في A ولا توجد في B B-A جميع العنصر التي في B ولا توجد في A مثال المجموعة الشاملة: تحتوي على جميع العناصر تحت الاخذ بالاعتبار ويرمز لها بـ U عملية الاتمام: اذا كانت A مجموعة جزئية من المجموعة الشاملة U فان U-A هي المجموعة المتممة لـ A ويرمز لها بالرمز A’ U A A’ 9 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفصل 1-1 مبادئ المجموعات المجموعات العددية مجموعة الاعداد الطبيعية N وهي الاعداد التي تستخدم في العد N={1,2,3,4,…..}. مجموعة الاعداد الكلية W وهي الاعداد الطبيعية مضافا اليها الصفر W={0,1,2,3,4,…..}=N{0}. مجموعة الاعداد الصحيحة Z Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…..}={0,1, 2, 3,…}. مجموعة الاعداد القياسية (النسبية او الكسرية) Q تشتمل على مجموعة الاعداد التي يمكن كتابتها على صور كسر (المقامصفر) وتكتب بسط مقام 10 10 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

مجموعة الاعداد غير القياسية (غير النسبية-غير القياسية) Q الاعداد التي لايمكن كتابتها على هيئة كسر مثل 11 11 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

محدودة او غير محدودة. اذا كانت و Rمجموعة جزئية من الفترات العددية محدودة او غير محدودة. اذا كانت و Rمجموعة جزئية من محدودة مغلقة مفتوحة نصف مغلقة او نصف مفتوحة 12 12 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفترة المفتوحة الفترات العددية غير المحدودة الفصل 1-1 مبادئ المجموعات 13 13 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الحل: 1) على خط الأعداد الحقيقية: 2) على صورة فترة: الفصل 1-1 مبادئ المجموعات اتحاد وتقاطع الفترات العددية عبري عن التالي على: خط الاعداد و صورة فترة و صور مجموعة الحل: 1) على خط الأعداد الحقيقية: 2) على صورة فترة: 3) على صورة مجموعة: 14 14 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

|4|=4 |-6|=6 d(-6,6)=|-6-6|=12 القيمة المطلقة 0 4 الفصل 1-1 مبادئ المجموعات القيمة المطلقة والعدد صفر على خط الاعداد الحقيقيةx المسافة الفاصلة بين 0 4 |4|=4 -6 0 |-6|=6 خصائص القيمة المطلقة المسافه بين عددين على خط الاعداد -6 6 d(-6,6)=|-6-6|=12 15 15 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

مثال العملياات الجبرية الجمع والطرح الجبري والقسمةالجبرية الضرب الجبري الفصل 1-2 العمليات الجبرية العملياات الجبرية الجمع والطرح الجبري مثال والقسمةالجبرية الضرب الجبري 16 16 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

ترتيب إجراء العمليات الجبرية الفصل 1-2 العمليات الجبرية (3)(4)=12 , (-3)(-4)=12 , (3)(-4)=-12 , (-3)(4)=-12 ترتيب إجراء العمليات الجبرية اتجاه التنفيذ من اليسار الى اليمين 12-3+4-2=9+4-2=13-2=11 إذا احتوت العملية الجبرية على الجمع الجبري فقط : اما ان نبدأ من اليسار الى اليمين أو نجمع الأعداد الموجبة معاً بإشارة موجبة، ونجمع الأعداد السالبة معاً بإشارة سالبة ثم نطبق قاعدة الإشارات رقم (2) في عملية الجمع الجبري . 17 17 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفصل 1-2 العمليات الجبرية 2) إذا احتوت العملية الجبرية على الضرب الجبري فقط: نجري العملية بالترتيب حسب ظهورها من اليسار إلى اليمين. 3) اذا احتوت العملية الجبرية على عمليتي الضرب الجبري والجمع الجبري فاننا نجري عملية الضرب اولا ثم الجمع 6+2x4-15+5=6+8-3=14-3=11 4) اذا احتوت العملية الجبرية على اقواس فاننا نجري العملية داخل الاقواس الصغيرة ( ) اولا، ثم الاقواس المتوسطه { }، ثم الاقواس الكبيره [ ] ابتداءا من الداخل الى الخارج [-40 ÷ { (12 ÷ 4)x 10 +10} ÷ (5 ÷ -5)] + 4 = [-40 ÷ { (3) x 10 +10} ÷ (-1)] + 4 = [-40 ÷ { 3 x 10 +10} ÷ (-1)] + 4 = = [-40 ÷ {30 +10} ÷ (-1)] + 4 = [-40 ÷ { 40} ÷ (-1)] + 4 = [-1 ÷ (-1)] + 4=1 + 4 = 5 18 18 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الكسور الكسر عبارة عن مقدار مكون من بسط ومقام مثلاً 8 16 4 8 الفصل 1-2 العمليات الجبرية الكسور الكسر عبارة عن مقدار مكون من بسط ومقام مثلاً 8 16 4 8 19 19 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفصل 1-2 العمليات الجبرية 20 20 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفصل 1-2 العمليات الجبرية تبسيط الكسور يكون الكسر مكتوباً بأبسط شكل (صورة) عندما لا يوجد عدد غير الواحد يقسم بسطه ومقامه معاً. 21 21 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

جامعة الملك عبدالعزيز _ كلية العلوم _ قسم الرياضيات الفصل الأول 2010 الفصل 1-2 العمليات الجبرية مقارنة الكسور ١) للمقارنة بين كسرين لهما المقام نفسه نقارن بين بسطيهما ويكون الكسر الأكبر هو الكسر ذو البسط الأكبر. مثال: 22 22 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

ايهما أكبر 3 2 4 5 أو طريقة سهلة سريعة الفصل 1-2 العمليات الجبرية 3 2 4 5 أو طريقة سهلة سريعة 23 23 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

القاسم المشترك الاكبر لعددين الفصل 1-2 العمليات الجبرية القاسم المشترك الاكبر لعددين القواسم المشتركة لعددين هي الاعداد التي يقسم كل واحد منها هذين العددين، واكبرها يسمى القاسم المشترك الاكبر (ق.م.ك) مثال: أوجد القاسم المشترك الاكبر للعددين 8 و 12. قواسم العدد 8 هي 1، 2، 4، 8 وقواسم العدد 12هي 1، 2، 3، 4، 6، 12 القواسم المشتركه بينهما هي 1، 2، 4 اما القاسم المشترك الاكبر فهو 4 القاسم المشترك الأكبر لعددين هو حاصل ضرب قوى العوامل الأولية المشتركة فقط والتي لها الأس الأصغر. 24 24 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

مثال: اوجد القاسم المشترك الاكبر للعددين 18 و 30 الفصل 1-2 العمليات الجبرية مثال: اوجد القاسم المشترك الاكبر للعددين 18 و 30 18=2x3x3=(2)(3 2) و 30=(2)(3)(5) اذا ق. م. ك.= (2)(3)=6 ملاحظة: 1) لتبسيط كسر نقسم كلاً من بسطه ومقامه على قاسم مشترك لهما. 2) لتبسيط كسر لأبسط شكل (صورة) نقسم كلاً من بسطه ومقامه على القاسم المشترك الأكبر لهما. مثال: بسطي الكسر الى أبسط صوره. ق. م. ك. للعددين 165 و 210 هو 15: 25 25 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

مضاعفات العدد هو ناتج ضرب العدد في احد عناصر الاعداد الطبيعية الفصل 1-2 العمليات الجبرية مضاعفات العدد هو ناتج ضرب العدد في احد عناصر الاعداد الطبيعية 1، 2، 3، ... مثال: المضاعفات الاربعة الاولى للعدد 5 هي: 5x1=5، 5x2=10، 5x3=15، 5x4=20. ملاحظه: لكل عددين مضاعفات مشتركه كثيره مثال: مضاعفات العددين 2 هي 2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18،.. 3 هي 3، 6، 9، 12، 15، 18،... المضاعفات المشتركه للعددين 2 و 3 هي6 و 12و 18 و ... المضاعف المشترك الاصغر لعددين هو اصغر مضاعف مشترك لهما ويرمز له م.م.ص. ملاحظه: للحصول على م. م. ص. لعددين، نكتب سلسلة مضاعفات كل منهما ثم نعين المضاعف المشترك الاصغر م. م. ص. 26 26 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

مثال: اوجدي المضاعف المشترك الاصغر للعددي 2 و 3 الفصل 1-2 العمليات الجبرية مثال: اوجدي المضاعف المشترك الاصغر للعددي 2 و 3 من المثال السابق، المضاعفات المشتركه للعددين 2 و 3 هي 6 و 12و 18 و ... اذا فان المضاعف المشترك الاصغر هو اصغرهم وهو 6. ملاحظه: المضاعف المشترك الاصغر لعددين هو حاصل ضرب قوى العوامل الاوليه للعددين التي لها الاس الاكبر. مثال: اوجدي المضاعف المشترك الاصغر للعددين 14 و 36. 14=2x7 36=(2 2 ) x (3 2 ) المضاعف المشترك الاصغر هو 7 x (2 2 ) x (3 2 )=252 27 27 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

ملاحظة: المضاعف المشترك الاصغر لعددين أوليين هو حاصل ضربهما. الفصل 1-2 العمليات الجبرية ملاحظة: المضاعف المشترك الاصغر لعددين أوليين هو حاصل ضربهما. مثال: بدأ احمد وحسام الدوران حول مضمار. اذا كان احمد يستغرق 8 دقائق للدوران دورة كاملة بينما يستغرق حسام 6 دقائق، بعد كم دقيقة يلتقي الاثنان عند نقطة البداية؟ الالتقاء عند نقطة البداية هو المضاعف المشترك الاصغر لوقتي الدوران اذا فان 6=2x3 اما 8=3x8=3x(2 3 ( وبالتالي فان حسام واحمد سيلتقيان عند نقطة البداية بعد 3x(2 3 (=24 دقيقة جمع الكسور: عند جمع كسرين لهما المقام نفسه، فان الناتج هو كسر مقامه يساوي مقام الكسرين وبسطه يساوي مجموع بسطيهما. مثال: 28 28 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

طرح الكسور: عند جمع كسرين لهما المقام نفسه، فان الناتج هو كسر مقامه الفصل 1-2 العمليات الجبرية طرح الكسور: عند جمع كسرين لهما المقام نفسه، فان الناتج هو كسر مقامه يساوي مقام الكسرين وبسطه يساوي الفرق بين بسطيهما. مثال: ملاحظه: (1)عند جمع (طرح) كسرين مختلفي المقام، نقوم بتحويلهما الى كسرين مكافئين لهما،على ان يكون مقامهما مشتركا، ثم نجمع (نطرح) الكسرين الناتجين (2)لايجاد ناتج جمع الكسرين(او طرحهما) نوحد المقامات بايجاد المضاعف المشترك الاصغر لهما واتخاذه مقاما مشتركا للكسرين. 29 29 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

قوانين جبريه لجمع وطرح الكسور الفصل 1-2 العمليات الجبرية مثال: قوانين جبريه لجمع وطرح الكسور ليكن a, b, c, d اعداد حقيقية غير صفرية فان: 30 30 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

قوانين جبريه لضرب وقسمة الكسور الفصل 1-2 العمليات الجبرية ضرب وقسمة الكسور حاصل ضرب كسرين هو كسر بسطه عباره عن ضرب البسطين ومقامه عبارة عن ضرب المقامين لقسمة كسرين فاننا نقوم بوضع الكسر الاول كما هو ونضربه في الكسر الثاني بعد ان نقلب الكسر الثاني (نضع البسط مقاما والمقام بسطا) قوانين جبريه لضرب وقسمة الكسور ليكن a, b, c, d اعداد حقيقية غير صفرية فان: 31 31 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الاسس (الرفع الى القوى) الفصل 1-3 الاسس والجذور الفصل 1-3: الاسس والجذور الاسس (الرفع الى القوى) عملية الرفع الى القوى هي اختصار لعملية تكرار ضرب العدد في نفسه. مثال: 2x2x2x2 تكتب باختصار 2 4 وتقرأ 2 أس 4 (أو 2 مرفوعة الى القوى الرابعة أو القوى الرابعة للعدد 2) ملاحظه: -القوى الثانية لاي عدد تسمى مربع العدد فمثلا 3 2 تقرأ 3 أس 2 أو مربع العدد 3. -القوى الثالثة لاي عدد تسمى مكعب العدد فمثلا 4 3 تقرأ 4 أس 3 أو مكعب العدد 4. 32 32 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

اذا كانت x, y اعدادا حقيقية و m, n اعدادا صحيحة فان: الفصل 1-3 الاسس والجذور الاس الاساس عددين حقيقين عددين صحيحين موجبين و و و خواص الاسس اذا كانت x, y اعدادا حقيقية و m, n اعدادا صحيحة فان: 33 33 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

يسمى العدد x الجذر النوني للعدد a اذا كان xn=a حيث n عدد طبيعي و a,xR الفصل 1-3 الاسس والجذور مثال الجذور يسمى العدد x الجذر النوني للعدد a اذا كان xn=a حيث n عدد طبيعي و a,xR اذا كان n عدد زوجي و a<0 فان a1/n غير معرفة في مجموعة الاعداد الحقيقية 34 34 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

اذا كان n عدد فردي و n3 فان اذا كان n عدد زوجي و n2 فان الفصل 1-3 الاسس والجذور الجذر التكعيبي الجذر التربيعي غير معرفة خواص الجذور اذا كان n عدد فردي و n3 فان اذا كان n عدد زوجي و n2 فان 35 35 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

y0 الفصل 1-3 الاسس والجذور 36 36 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

الفصل 1-4: المقادير الجبرية الفصل 1-4 المقادير الجبريه الفصل 1-4: المقادير الجبرية المقدار الجبري هو عبارة عن صيغة او تركيبة من الاعداد والرموز او المتغيرات مرتبطة ببعضها البعض بواسطة الجمع الجبري والضرب الجبري مثال: العمليات الجبرية على المقادير الجبرية لجمع المقادير الجبرية فاننا نجمع او نطرح المعاملات العددية للمتغيرات ذات الاسس المتشابهه فقط لضرب المقادير الجبريه بعدد ثابت فاننا نقوم بضرب العدد الثابت بكل حد من حدود المقدار الجبري لضرب وقسمة المقادير الجبرية بعضها في بعض فاننا نقوم باستخدام قوانين الاسس 37 37 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر

جامعة الملك عبدالعزيز _ كلية العلوم _ قسم الرياضيات الفصل الأول 2010 الفصل 1-4 المقادير الجبريه جامعة الملك عبدالعزيز _ كلية العلوم _ قسم الرياضيات الفصل الأول 2010 مثال: ضعي المقادير الجبرية التالية في ابسط صورة: 38 38 ملحوظة:الشرائح غير كافية لتغطية المنهج الرجاء الاعتماد كلية على الكتاب المقرر