4 3 5 2 1 Start

المعدلات المرتبطة بالزمن المعدلات المرتبطة بالزمن Related Rates Related Rates Start

الأهداف السلوكية يعين علاقة بين المتغير المطلوب إيجاد معدل تغيره و باقي المتغيرات . يحل مسائل وتطبيقات حياتية على السرعة . توجد معدل التغير في مساحة سطح مكعب إذا علم طول ضلعه ومعدل التغير طول كل ضلع من أضلاعه . توجد معدل التغير في طول قطر كرة إذا علم معدل التغير في حجمها وعلم طول نصف قطرها . تحل مسائل وتطبيقات حياتية علي المعدلات الزمنية المرتبطة.

د) مخروط دائري قائم يصب فيه الماء يتشكل الماء بشكل الإناء rويكون نصف القطر متغير وارتفاع الماء h متغير هو الحجم v r dh dt معدل تغير الارتفاع = dr dt معدل تغير نصف القطر = h dv dt معدل تغير الحجم =

إرشادات عند حل مسائل المعدلات المرتبطة بالزمن: - اقرأ السؤال جيدا (العدد الكافي من المرات) وفكر بالحقائق المتضمنة والكميات المجهولة المطلوب إيجادها. - ارسم شكلا (إن أمكن)وعين عليه المعطيات والمطلوب بما في ذلك المتغيرات. - اكتب الحقائق المتوفرة بما في ذلك المعدلات المعلومة والمعدلات المطلوبة للمتغيرات المتضمنة في الخطوة 2. - اكتب العلاقة بين المتغيرات. - قد تحتاج إلى إيجاد احد المتغيرات بدلالة آخر (من خلال نظرية فيثاغورث، تشابه المثلثات، حجوم أو مساحات،.....) وذلك حسب المعطيات المتوفرة. - اشتق العلاقة بين المتغيرين بالنسبة للزمن لتحصل على علاقة بين المعدلات المرتبطة بالزمن. - عوض بالقيم المعطاة لتحصل على القيم المطلوبة. ملاحظة: لا يتم التعويض بقيم المتغيرات والمعدلات المرتبطة المعطاة إلا بعد الاشتقاق بالنسبة للزمن .

سعة تغير إحداثيها الصادي إذا كان معدل تغير الإحداثي السيني لنقطة تتحرك على الدائرة التي معادلتها هو وحدات في الثانية عند النقطة فما سرعة تغير الإحداثي الصادي عند تلك النقطة ؟ x2 + y2 = 16 dn dy الاشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن = s w 0و وحدة / ثانية سعة تغير إحداثيها الصادي

يرتكز سلم طوله على حائط رأسي طوله 5قدم فإذا انزلق طرفه السفلي مبتعداً عن الحائط على الأرض بسرعة 2أقدام في الثانية ، فكم تكون سرعة هبوط الطرف لأخر إلى أسفل الحائط عندما تكون قاعدة السلم تبعد مسافة 3 أقدام عن الحائط ؟ بفرض أن هي المسافة بين مستوى الأرض وقمة السلم في أي لحظة وأن هي المسافة بين الحائط وقاعدة السلم 5 ft y x نوجد علاقة بين x ، y باستخدام نظرية فيثاغورث : x2 + y2 = 25 وباشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن

؟ الحل 4  سم مكعب في الدقيقة - 4 = = 12 = 2 r 4 3  r3 = حجم الكرة v قطعة من الثلج علي شكل كرة تذوب بمعدل 4  سم مكعب في الدقيقة بحيث تحافظ علي شكلها الكروي . فكم يكون معدل تناقص طول قطرها عندما يكون طول قطرها 12 cm dv dn - 4 = 2(dr) dn = ؟ 12 = 2 r الحل 4 3  r3 = حجم الكرة v r = 6 4 3 dr dn dv dn 3 r2  = dr dn 6  6  4 = - 4 - 1 36 dr dn =  معدل تناقص طول القطر 

الحل ؟  r2h = = =  r2) r + 3 (  r3 +  r2 + مخروط دائري قائم مصمت من المعدن ارتفاعه يزيد عن طول نصف قطرقاعدته يتمدد بالحرارة بانتظام فإذا كان معدل ازدياد طول نصف قطر القاعدة أوجد معدل الزيادة في الحجم عندما نصف قطر قاعدته يساوي ؟ مخروط مصمت الحل 3 1  r2h = v h = r + 3 3 1  r2) r + 3 ( = v  r3 +  r2 = v الاشتقاق لطرفى المعادلة بالنسبة للزمن + = r = 20m dn dr = 220  معدل الزيادة في حجم المخروط = = dn dv ؟

r = = ، حجم الماء v نصف قطر الماء r ، ارتفاع الماء h r dn dv 10 سم ، ارتفاع الماء h r dn dv 60 سم = 12 – 4 = 8 سم 3 / ثانية 10 سم h من هندسة الشكل 60 سم r 60 h 10 r = h 6 1h r = ارتفاع الخزان ثابت 60 سم ونصف قطر الخزان ثابت 10 سم . لا تعطي لهم رموز

الحل h = v  h3 = = = =  3h2    40 40  8 6 1 = r 3 (36) 1 10 سم الاشتقاق لطرفى المعادلة بالنسبة للزمن r dn dh 3) 36(   dn dv 3h2  = 60 سم dn dh h  36   = 40 40  8  × 40 × 40 8) 36) dn dh = 0.57 = dn dh = ؟ h = 40

اعتبر كرة نصف قطرها 10 سنتمر. إذا تغير نصف القطر بمعدل 0 اعتبر كرة نصف قطرها 10 سنتمر. إذا تغير نصف القطر بمعدل 0.1 سنتمتر لكل ثانية ما هو معدل التغير في حجم الكرة ؟

.

؟ يتسرب الماء من خزان اسطواني الشكل بمعدل 3liters/second يتسرب الماء من خزان اسطواني الشكل بمعدل ما هو معدل التغير في ارتفاع الماء عندما نصف القطر cm8 ؟ (We need a formula to relate V and h. ) Find (r is a constant.)

كم كانت سرعة ارتفاع البالون عند هذه اللحظة ؟ بالون مملوء بالهواء الساخن يرتفع عموديا لأعلى من مستوى معين ,ويتتبع حركة البالون جهاز وفي اللحظة التي كانت فيها زاوية ارتفاع من نقطة انطلاق البالون كانت الزاوية تزداد بمعدل كم كانت سرعة ارتفاع البالون عند هذه اللحظة ؟

Find

شاحنة تتحرك شرقا بسرعة 40 ميل / ساعة شاحنة تتحرك ؛إلى الشمال بسرعة 30 ميل / ساعة أوجدي معدل التغير في المسافة بين الشاحنة والسيارة بعد 10دقائق ؟

B z = 5 y = 3 A x = 4

A Mathematical Adventure... Tweety, Sylvester, Hector, and the Ladder A Mathematical Adventure... Hello! I am Tweety. Today, I get the bird…. Hector

I will wait until Tweety is up on his bird house I will wait until Tweety is up on his bird house. Then, I’ll take a ladder and snatch him!

Hector, I am going to my birdhouse. Watch out for the cat. Yes boss.

! How fast is the ladder falling when it is 10 ft off the ground? Not so fast!!! 26 ft 24 ft

How fast is the ladder falling (dy/dt) when it is 10 ft off the ground (y)? Known Values: L y x Equation: Solving for related rates: Prepare Equation Substitute Values Solve for:

Known Values: Equation: 26 ft y L x Equation: Solve for:

Known Values: Equation:

How fast is the ladder falling when it is 10 ft off the ground?

رجل طويل القامة طوله6 أقدام يسير بمعدل 2 قدم / ثانية باتجاه رجل طويل القامة طوله6 أقدام يسير بمعدل 2 قدم / ثانية باتجاه  الشارع على ضوء يصدر من عمود كهرباء طوله 16 قدم .  ما هو معدل تغيير حجم ظله؟ x y 16 6 The size of his shadow is reducing at a rate of 6/5.

يخرج السائل من خلال مرشح على شكل مخروط الشكل بسرعة 3 بوصات مكعبة في الدقيقة الواحدة. الخزان موضوع بحيث يكون رأسه إلى أسفل .إذا كان إذا كان ارتفاع الخزان 12ونصف قطر قاعدته 3,ما السرعة التي يرتفع بها الماء عندما يكون عمق الماء 6 3 r 12 h The depth of the liquid is decreasing at a rate of

طائرة تطير على إرتفاع قدره 6 ميل طائرة تطير على إرتفاع قدره 6 ميل .وتمر فوق رادار كما هو مبين بالشكل ,عندما كانت على بعد 10 ميل من الرادار .بين الرادار أن المسافة تتغير تتناقص بمعدل 400 ميل لكل ساعة ,ما سرعة الطائرة عند هذه اللحظة ؟ S=10 6 mi x

Given: Find: Equation: Solve: x2 + 62 = s2

x Variable h Const

صنارة صيد تتحرك بمعدل 1 قدم لكل ثانية وطولها يساوي 25قدم إذا كان ارتفاع الجسر فوق الماء 15 قدم فوق سطح الماء ما هو معدل التغيرفي الزاوية بين خط الصنارة وسطح الماء x 15 ft.

Given: Find: Equation: Solve: x = 25 ft. h = 15 ft.

The area is increasing at a rate of أسقطت حصاة في بركة ماء وستمر نصف قطر دائرتها يتموج بمعدل 4قدم لكل ثانية ما هي مساحة المنطقة الناتجة عن التموج السريع في نهاية الثانية 8 At t = 8, r = (8)(4) = 32 The area is increasing at a rate of

Air must be removed at a rate of حاوية على شكل كرة أفرغت بحيث نصف قطرها يتناقص بمعدل 10سم/دقيقة .ما هو معدل إفراغ الحاوية عندما نصف قطرها 5 سم ؟ 5 Air must be removed at a rate of

يصب الرمل في كومة مخروطية الشكل طوله دائما يساوي نصف قطرها ,إذا كان الارتفاع يزيد بمعدل ثابت يساوي 4قدم لكل دقيقة ماهو معدل تدفق الرمل من المظلة عند كومة 15 ft عالية ارتفاعها 15 15

12.2a Nets of Geometric Solids Number of shapes: 2 triangles 3 rectangles Triangular prism

b l Surface area h l b =bh + 3bl h = 2 x ½ bh+ 3x bl Area of triangle =½ bh Area of rectangle= bl Surface area = 2 x area triangle + 3 x area of rectangle = 2 x ½ bh+ 3x bl =bh + 3bl h b l

حوض طوله 15 قدم عند مقطعه العلوي ,وعرضه عذد ذلك المقطع 4 قدم حوض طوله 15 قدم عند مقطعه العلوي ,وعرضه عذد ذلك المقطع 4 قدم . النهايات هي مثلثات متساوية الأضلاع ارتفاع كل منها 3 قدم ,يسكب الماء في الحوض بمعدل 2.5 قدم /دقيقة .ما سرعة ارتفاع سطح الماء في الحوض عندما يكون ارتفاعه 2 قدم ؟ 4 y x L 15 3 2 3 y

مع أطيب أمنياتي بالنجاح والتوفيق مع أطيب أمنياتي بالنجاح والتوفيق المعلمة : أمل محمد عبد الله أمل محمد عبد الله أمل محمد عبد الله