المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية وزارة التربية المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية ألأدارة العامة لمنطقة الفروانية التعليمية ثانوية درة الهاشيمية قسم الرياضـــيات

ورشة عمل في منهج الثاني عشر علمي مشتقات الدوال المثلثية الوحدة الثانية مشتقات الدوال المثلثية بند ( 2 – 4 ) ( 2 – 5 ) ( 2 – 6 )

قسم الرياضيات الموجهه الأولي أ / جميلة البيدان مديرة المدرسة أ / هيا الشمري الموجهه الفنية أ / إقبال البحراني رئيسة القسم أ / منيفة الشمري

إعداد أ /سماح عبدالله أ /مروة محمد بإشراف رئيسة القسم أ / منيفة الشمري إعداد حاسوب أ / مروة محمد

يستنتج مشتقه داله الجيب باستخدام تعريف المشتقة ..* الأهداف السلوكية يستنتج مشتقه داله الجيب باستخدام تعريف المشتقة ..* *يربط بين التمثيل البياني لداله الجيب والتمثيل البيانى لداله جيب التمام *يستنتج مشتقه داله جيب التمام باستخدام تعريف المشتقه *يوجد مشتقات بعض الدوال المثلثيه التى تحتوى على داله الجيب وجيب التمام *يثبت مشتقات الدوال المثلثيه الاخرى *يوجد مشتقات الدوال المثلثيه * يذكر معادله المستقيم *يوجد ميل المماس لمنحنى الداله *يذكر معادله ميل المستقيم العمودى *يوجد معادله المستقيم العمودى ( الناظم )لمنحنى داله مثلثيه عند نقطه

مشتقات الدوال المثلثية المشتقات ذات الرتب العليا والأشتقاق الضمني الحــصص البنـــــــــد حصتين مشتقات الدوال المثلثية ( 4-2 ) قاعدة السلسلة ( 5 -2 ) 3 حصص المشتقات ذات الرتب العليا والأشتقاق الضمني ( 6 -2 )

Sin x cos x x ( 1 ) اثبات مشتقة مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) أوجد مشتقات الدوال التالية بالنسبه الى مستخدماً تعريف المشتقة x دعنا نفكر ونناقش ( 1 ) اثبات مشتقة Sin x مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) (2 ) اثبات مشتقة cos x

بإستخدام متطابقة مجموع زاويتين مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) f ( x ) = sin x ( 1 ) اثبات مشتقة sin x f ( x ) = lim sin ( x + h ) – sin x \ h 0 h sinx cosh + cosx sinh بإستخدام متطابقة مجموع زاويتين f ( x ) = lim sin x cosh + cos x sin h – sin x \ h h 0 f ( x ) = lim - sin x( 1 – cos h) + cos x sin h \ h h 0 f ( x ) = - sinx lim ( 1 – cos h) ( 1 – cos h) \ sin h + cos x lim h h h h 0 h 0 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) sin h sin h lim 1 . lim =0 h 0 h 0 ( 1 + cos h) h lim ( 1 + cos h) . f ( x ) = - sin x .( 0 ) + cos x. ( 1 ) \ h 0 ( 1 + cos h) lim ( 1 – cos2 h) f ( x ) = cos x \ h 0 h( 1 + cos h) lim = cos x dx sin 2 h sin x h 0 h( 1 + cos h)

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) ( sin x ) = cos x d dx المشتقة عندها = صفر مماس أفقي x y 1 π -2 π 2 -3 π ــ -π 2 π 2 π π 2 3 π 2 -1 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) ( cos x ) = - sin x d dx وبالمثل بالنسبة :

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) لذا سوف نلجا الي التعريف العام للمشتقة Cos x إثبات مشتقة ( 2 ) f ( x ) = cos x cosx cosh - sinx sinh بإستخدام متطابقة مجموع زاويتين f ( x ) = lim \ cos ( x + h ) – cos x h 0 h = lim )cos x cos h ) – ( sin x sin h ) – cos x h 0 h مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = lim )cos x cos h ) – cos x - lim ( sin x sin h ) h 0 h h 0 h =cos x lim cos h – 1 cos h – 1 sin h - sin x lim h 0 h h h 0 h = 1 lim cos h +1 . cos h +1 h 0 =lim cos2 h – 1 h( cos h +1 ) h 0

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) =- lim Sin 2 h h( cos h +1 ) h 0 =- lim Sin h . Sin h h( cos h +1 ) h 0 =- lim Sin h Sin h lim h h 0 h 0 ( cos h +1 ) =- 1 x 0 = 0 cos x . Sin h مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) - sin x lim h 0 ( cos h +1 ) (cos x . 0) – sin x = – sin x = – sin x d Cos x dx

مشتقات الدوال الجيبيه التدريس

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d sin x = cos x dx مشتقة دالة الجيب هي موجب دالة جيب التمام مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d cos x = - sin x dx مشتقة دالة جيب التمام هي سالب دالة الجيب

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) ملاحظة قواعد الأشتقاق التي تم دراستها صحيحة في الدوال الجيبية مثال ( 1 ) صـ 100 y = x 2 sin x أوجد مشتقات الدوال التالية : a مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d y مشتقة ( ضرب دالتيين ) d d = sin x . ( x2 ) + x 2 . ( sin x ) dx dx dx = 2 x sin x + x 2 cos x

اذا كان قياس زاوية بالرديان فإن : مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) اذا كان قياس زاوية بالرديان فإن : تذكــــــــر x Sin x lim = 1 lim cos x = 1 X 0 x X 0 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) lim sin x = 0 X 0 tan x lim tan x = 0 lim = 1 X 0 X 0 x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) مثال( 1)صـ 100 u = cos x b b 1 – sin x d d = du (1 – sin x) cos x - cos x . (1 – sin x) dx dx dx ( 1 – sin x ) 2 قاعدة القسمـــــة = (1 – sin x) (- sin x ) - cos x (0 – cos x) ( 1 – sin x ) 2 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = - sin x + sin 2 x + cos 2x ( 1 – sin x ) 2 = 1 = 1 – sin x ( 1 – sin x ) 2 = 1 1 – sin x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) حــــل آخـــــر u = cos x 1 + sin x . 1 – sin x 1 + sin x u = cos x (1 + sin x) 1- sin 2 x u = cos x (1 + sin x) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) cos 2 x u = (1 + sin x) cos x d d = du cosx . ( ( 1 + sin x ) – ( 1 + sin x ) . cosx dx dx dx cos 2 x = cosx cosx du - ( 1 + sin ) - sin x dx cos 2 x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = du cos 2x + sin x +sin 2 x dx cos 2 x = ( 1 + sin x ) cos 2 x = du ( 1 + sin x ) dx 1 - sin 2 x = ( 1 + sin x ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) (1- sin x ) ( 1+ sin x ) = 1 (1- sin x )

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) أوجد المشتقات الداله التالية مثال ( 1 ) صـ100 f ( x ) = sin 2 x c في هذا البند لاتحل إلا بهذه الطريقة f( x ) = sin 2 x d d dx dx = ( sin x . sin x ) d dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) =sin x . ( sin x) + sin x . ( sin x ) d d dx dx = sin x . cos x + sin x . cosx = 2 sin x cos x = sin2 x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) حاول ان تحل (1 ) صـ101 (( أوجد المشتقات للدوال التالية )) الحــــل h (x ) = cos 2 x a h (x ) = cos 2 x d d dx dx h ( x ) = cos 2 x حل أخر = ( cos x . cos x ) d h ( x ) = (cos x)2 dx d d h ( x ) = (cos x)2 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = cosx dx dx d + cosx cosx d . cos x = 2 (cos x). ( - sin x ) dx dx = - 2 sin x cos x = cos x . ( - sin x ) + cos x ( - sin x ) هذا الحل يمكن استخدامه بعد دراسة قاعدة سلسلة القوي = - 2 sin x cos x = - sin2 x

لاحظ h ( x ) = cos ( x) 2 h ( x ) = cos 2 x ( cos x ) 2 ( cos x ) 2 X

حاول ان تحل ( 1 ) ( ) صــــــــ 101 اوجد مشتقة الدالة التالية حاول ان تحل ( 1 ) ( ) صــــــــ 101 b اوجد مشتقة الدالة التالية g ( x ) = x الحـــــــــــــــــل Cos x قاعدة القسمة ( المقام × مشتقة البسط ) – ( البسط × مشتقة المقام ) 2 ( المقام ) d d -x d cosx . x cosx g (x )= dx dx = + x tan x dx sec x sec x ( cos x ) 2 = (cosx . 1) – [x . ( - sin x )] = ( 1 + x tan x ) ( cos x ) 2 sec x = cos x + x sin x ( cos x ) 2 = cos x 1 x sin x + cos x . cos 2 x cos x cos x cos 2 x cos x sec x sec x tan x

تطبيق قوانين النسبه المثلثية y = حاول ان تحل صـــ 101 رقم 1 Sin x c قاعدة القسمة Sin x + cosx الحـــــــــل d d = (Sin x + cos x) . Sin x -sinx ( sin x + cos x ) d dx dx dx ( Sin x + cos x)2 = ( sin x + cos x ) . Cos x – sin x ( cosx + - sin x ) Sin 2 x + cos2 x + 2 sin x cosx = Sin x cos x + cos 2 x 1 – sin x cos x + sin2 x 1 + 2 sinx cos x = 1 1 + 2 sinx cos x تطبيق قوانين النسبه المثلثية = 1 Sin 2 x = 2 sin x cos x 1 + Sin 2 x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) حل آخر y = Sin x Sin x – cos x . Sin x + cosx Sin x - cos x مناقشة y = Sin 2 x - cos x sin x Sin 2 x - cos2 x مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )

اوجد (cscx) (cot x) (secx) (1)ورقه عمل مشتقات الدوال المثلثيه مشتقه داله الجيب هي موجب داله جيب التمام (sinx)=cosx d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx d dx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (cscx) (tanx) (cot x) (secx) d dx d dx d dx d dx

(1)ورقه عمل اوجد مشتقات الدوال المثلثيه (sinx)=cosx مشتقه داله الجيب هي موجب دال جيب التمام d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx d dx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (tan x) d dx

(1)ورقه عمل اوجد مشتقات الدوال المثلثيه (sinx)=cosx مشتقه داله الجيب هي موجب دال جيب التمام d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx d dx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (cot x) d dx

اوجد مشتقات الدوال المثلثيه (1)ورقه عمل (sinx)=cosx مشتقه داله الجيب هي موجب داله جيب التمام d dx (cosx)=-sinx d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (sec x) d dx

اوجد مشتقات الدوال المثلثيه (1)ورقه عمل مشتقه داله الجيب هي موجب دال جيب التمام (sinx)=cosx d dx مشتقه داله جيب التمام هي سالب داله الجيب (cosx)=-sinx باستخدام قواعد الاشتقاق اوجد (csc x) d dx

مشتقات الدوال المثلثية الأخري ثانياً الدالتان ، دالتان قابلتان للاشتقاق ، لذا فإن الدوال المثلثية التالية هي ايضا ًقابله للاشتقاق عند كل قيمه للمتغير تكون معرفه عندها f ( x) = sin x g ( x) = cos x X tan x= Sin x 1 Cos x d d ( tan x) = Cosx Cos x Sin x - Sin x - Sin x Cosx d dx dx dx (Cos x)2 = Cos 2x + sin 2x Cos 2 x = 1 = 1 Cos 2 x = Sec 2 x d dx tan x = sec 2 x = 1+ tan 2 x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) cot x= Cos x نعلم أن 2 sin x d dx d dx Cos x Cot x = sin x d dx d dx = sin x - Sin x Cos x - Cos x Cos x sin x قاعدة القسمة sin2 x مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) - Cos 2 x - sin 2x -1 = = Sin 2x Sin 2x x = - csc 2 d dx 2 cot x = - csc 2 x = - ( 1+ cot 2 x)

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) نعلم ان 1 Sec x = Cos x d dx - 1 . ( Cos x ) d dx سالب الثابت مشتقة المقام X Sec x = ( Cos 2 x ) ( المقام ) 2 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d dx -( - sin x) Sin x Sec x = = ( Cos x ) 2 ( Cos x ) 2 Sin x 1 = . Cos x = tan x sec x Cos x d dx 3 Sec x = sec x tan x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) csc x= نعلم أن 1 4 sin x d dx d dx 1 Csc x = ( ) sin x d dx - 1 ( ( sin x )) = ( sin x ) 2 - ( cos x ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = sin 2 x - Cos x 1 . = - Cot x Csc x sin x sin x d dx 4 Csc = - Cot x . Csc x

ملحوظة = 1+ tan 2 x = - ( 1+ cot 2 x) الدوال المثلثية الأخري هي ايضاً دوال قابلة للاشتقاق عند كل قيمة للمتغير تكون معرفة عندها وتعطي مشتقاتها بالقواعد السابق برهانها وهي X d dx 1 tan x = sec 2 x = 1+ tan 2 x d dx 2 cot x = - csc 2 x = - ( 1+ cot 2 x) d dx 3 sec x = -sec x tan x d dx 4 csc x = - csc x cotx

أوجد مشتقة الدالة التالية مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) مثــــال ( 1 صـ 102) f( x ) = tan x + cot x f ( x ) = sec2 x + ( - csc 2x) \ f ( x ) = sec 2 x - csc 2 x \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) يمكن حل عن طريق فك كل من f ( x ) Sin x tan x = Cos x Cos x Cot x= Sin x

أوجد مشتقة الدالة التالية مثال 2( ) صـ 102 أوجد مشتقة الدالة التالية b حل أخــــــــر g( x ) = sec x ( 1 + sin x ) b g ( x ) = sec x (1 +sin x) + ( 1 +sin x ) (secx) g( x ) = sec x + \ \ \ sin x secx tanx g( x ) = sec x (cosx) + ( 1 +sin x ) (secx.tanx) \ g ( x ) = ( sec x + tan x) d dx \ g ( x ) = sec x (cosx) +secx.tanx +secx .tanx .sinx \ g ( x ) = sec x + tan x d dx \ d dx g ( x ) =1 + secx .tanx + secx .tanx .sinx \ g ( x ) = sec x.tan x + sec 2x \ g ( x ) =1 + secx .tanx + tan 2x \ 1 + tan 2 x g ( x ) = 1+sec x tan x +tan 2 x \

أوجد مشتقة الداله التالية مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) مثال 2( ) صـ 101 c h( x ) = csc x + sin x . tan x h( x ) = csc x + (sin x . tanx) \ d dx d dx h( x ) = - csc x. Cot x + ( sin x . tan x + tan x . Sin x ) \ d dx d dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) h( x ) = - csc x. Cot x + sin x . sec2x + tan x . Cos x \ h( x ) = - csc x. cot x + sinx. secx .secx + \ sinx tan x cosx cosx h( x ) = - csc x. cot x + \ tanx secx +sin x

أن ميل المماس = المشتقة الأولي مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) تـــــــذكــــــــر أن ميل المماس = المشتقة الأولي معادلة المستقيم y – y 1 = m ( x – x 1 ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) هو ميل المستقيم (( المماس للمنحني )) m معادلة المستقيم العمودي y – y 1 = ( x – x 1 ) - 1 m نقطة التماس ( x 1 , y 1 ) ميل المستقيم العمودي = - 1 m

نوجد أولاً مشتقة الدالة مثال3 صـ 101 اوجد معادلة المستقيم العمودي لمنحني الدالة عند النقطة π p) , 1 ) y = tan x 4 ( tan x ) = sec 2 x dy dx d dx = نوجد أولاً مشتقة الدالة = sec 2 = ( ) = 2 dy dx 2 4 π 2 4 π X = هو وعليه ميل المستقيم العنودي للمنحني عند - 1 - 1 4 π p) , 1 ) = m 2 معادلة المستقيم العمودي y – y 1 = ( x – x 1 - 1 m y – 1 = ( x - ) - 1 4 π 2 y – 1 = X + - 1 8 π 2 - 1 y = X + + 1 8 π 2

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) حاول ان تحل صـ 101 رقم 3 اوجد معادلة المستقيم العمودي لمنحني الدالة عند النقطة 3 π F ( , 2 ) y = sec x = ( sec x ) dy dx d dx وعليه ميل المستقيم العمودي للمنحني عند هو F ( , 2 ) 3 π - 1 -1 m = = m 2 3 = sec x tan x dy dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) معادلة المستقيم العمودي - 1 3 π y – 2 = ( x - ) = sec ( ) tan ( ) 2 3 dy dx 3 π 3 π 3 π X = معادلة المستقيم العمودي = 2 3 π - 1 y = x+ +2 2 3 6 3

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) حاول ان تحل صـ 101 رقم ( 1 ) b حل أخر قاعدة الضرب g ( x ) = x . 1 Sec x Cos x d d = X . ( sec x ) + sec x x dx dx مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) = X sec x tan x + sec x . 1 = sec x(x tan x + 1 )

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) حاول ان تحل ( 2 ) صـ102 أوجد اشتقاق الدوال التالية : f(x)= 1+tanx 4 tanx يمكن استخدام قاعدة القسمة d dx \ 1 tan x f (x) = [ ] + tanx tan x f ( x ) = ( cot x + 1 ) d dx \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) cotx + 1 d dx d dx = = - csc 2 x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) يمكن حلها بإستخدام قاعدة القسمة حاول ان تحل صـ 102 b g( x ) =sec + cscx x خطأ مطبعي g( x ) = sec x + (cscx) \ d dx d dx g( x ) =secx tanx - csc x. Cotx \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) h(x)= secx حاول ان تحل صـ 102 c cscx h (x)= sec 2x h(x) = \ يمكن حلها بإستخدام قاعدة القسمة h(x)= tan x

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) كراسة تمارين ( 5 ) صـ 41 أوجد مشتقة الدالة عند tan x π 4 x x x sec2x – tan x x2 y = قاعدة القسمة \ \ y 8 ( π – 2) π2 = مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 )

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) كراسة التمارين ( 6 ) أثبت ان منحني كل من الدالتين له مماس أفقي عند (6) 1 Cos x y = X= 0 ,y = cosx 1 Cos x y = y = cosx y = secx y = - sin x \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) y = secx tanx \ =- sin0 dy dx = 0 dy dx X= 0 = secx tanx = dy dx = 0 sec0 tan0 X= 0 لهما مماس افقي عند X= 0

أختبار الوحدة الثانية صـ 46 رقم ( 3 ) مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) أوجد مشتقة الدالة أختبار الوحدة الثانية صـ 46 رقم ( 3 ) g( x ) = 2sinx cosx g( x ) =2(sinx . cosx + cosx sin x d dx d dx \ g( x ) = 2 ( -sin2 x + cos2 x ) \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) g( x ) = 2 (cos 2 x - sin 2x) \ 2cos 2x

مخطط توضيحي لمشتقة الدوال المثلثية Sin x مشتـــــقة مشتـــــقة - cos x cos x مشتـــــقة مشتـــــقة - Sin x d dx d dx sin x = cos x d dx -cos x = - cos x = - - sin x = sin x 1 3 d dx d dx d dx cos x = -sin x 4 -sin x= - sin x = - cos x = - cos x 2

مخطط توضيحي لمشتقة الدوال المثلثية الأخري tan x d dx x sec x sec x d dx X tan x = sec 2 x d dx d dx sec x = tan x sec x

cot x - csc x csc x cot x = - csc 2 x d dx d dx d dx x d X dx