ثانوية الروضة للبنات ترحب بالضيوف الكرام

ورشة للصف الحادي عشر علمي الجديد الكتاب الثاني للفصل الدراسي الثاني 2013 / 2014

وزارة التربية الإدارة العامة لمنطقة العاصمة التعليمية التوجية الفني للرياضيات تحت أشراف : الموجهة الأولى : أ / حصة العلي أعداد الورشة : أ / حنان بوحيمد و أ / عواطف الأنصاري إلقا ء : أ / وداد البحيري أشراف : الموجهة الفنية : أ / رضية القطان أشراف : رئيسة القسم : أ / طاهرة محمد

الأحتمال

الأهداف السلوكية : - تعرف التجربة العشوائية تعرف فضاء العينة . تعرف الحدث تذكر انواع الحدث تبين إذا كانت الأحداث المتنافية تعين متمم الحدث تذكر بعض نظريات الاحتمال تعيين احتمال ذات الحدين

عـــــــــــدد الحصــــــــص أربع حصص مناسب

الأدوات المستخدمة الآلة الحاسبة حجر نرد كرات ملونة كرة سلة مضرب تنس وسيلة إيضاح

عمل تعاوني سوف نتعلم : تعرف التجربة العشوائية وفضاء العينة . تعرف بعض نظريات الاحتمال. تعيين احتمالات االأحداث المتنافية ومتمم الحدث والأحداث المستقلة . تعيين احتمال ذات الحدين . خذ ورق مقوى مستطيلة الشكل وإطوها لوجهين مستطيلين غير منطبقين ، كما هو مبين في الرسم ، نريد أن نعرف كيف تقع هذه الورقة على الارض عند إفلاتها من ارتفاع ما . 1. أفلت الورقة من يدك 60 مرة . دون كل مرة وضع سقوطها . 2. أي الأوضاع هي الأكثر توقعاً لسقوط الورقة ؟ وأي الأوضاع هي الأقل توقعاً ؟ 3. ما النسبة المئوية لسقوط الورقة على الوجهة الصغرى ؟ أوجد النسب المئوية لبقية وجهات السقوط . 4. a. لنفرض أنك أفلت الورقة 20 مرة إضافية ، توقع عدد مرات سقوطها لكل وضع . B . أفلت الورقة 20 مرة جديدة ، دون أوضاع السقوط . c . قارن بين ما دونته وما توقعته ، هل هما متقاربتان ؟ كيف يمكنك تحسين توقعك ؟

المفردات والمصطلحات : الاحتمال probability التجربة العشوائية random experiment فضاء العينة sample Space حدث بسيط simple event حدث مركب compound event حدث مستحيل impossible event حدث مؤكد certain event حدثان متنافيان mutually exclusive events حدث متمم complement event حدثان مستقلان independent events التقاطع independent الاتحاد union المتمم complement احتمال ذات الحدين Binomial probability

التجربة العشوائية – فضاء العينة random experiment – sample space في حياتنا اليومية ، هناك الكثير من الأمور التي لها صفة العشوائية . فمثلاً عندما نرمي مكعباً مرقماً ( حجر نرد ) لا يمكننا مسبقاً معرفة العدد الذي سيظهر على الوجهة العليا . أو قبل الوصول إلى التقاطع في الشارع ، لا يمكننا معرفة ما سيكون عليه لون إشارة المرور . كذلك عندما نأخذ كرة من كيس ( دون النظر الى داخله ) يحتوي على كرات متساوية الحجم ، مختلفة الألوان ، لها الملمس نفسه فإنه لا يمكننا مسبقاً معرفة ما سيكون عليه لون الكرة .

التجربة العشوائية هي تجربة لها عدة نواتج مختلفة ممكنة ولكن لا يمكن التأكد مسبقاً من أي ناتج منها سوف يتحقق عند إجراء التجربة . في كل تجربة عشوائية نهتم أولاً بمعرفة مجموعة النواتج الممكنة لتلك التجربة . مجموعة النواتج هذه تسمى فضاء العينة . وكل حدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة . في تجربة رمي حجر نرد فضاء العينة هو : n(S) = 6 , S = {1,2,3,4,5,6} ويعتبر الحصول على عدد من مضاعفات العدد 3 هو حدث وليكن A أي { 3,6} = A ويكون n (A) = 2 في « العمل التعاوني « فضاء العينة هو أوضاع السقوط الأربع المبينة في « ورقة تدوين النتائج « وكل وضع سقوطك هو حدث . معلومة : نرمز عادة لفضاء العينة بـ S . لأي مجموعة A يمز لعدد عناصرها بالرمز n(A) معلومة : يقصد بحجر النرد هو مكعب أوجهه مرقمة من 1 إلى 6وكل وجه له نفس فرصة الظهور .

أنواع الأحداث Types of Events حدث بسيط Simple Event مجموعة جزئية من فضاء العينة (S) تحوي ناتجاً واحداً من نواتج التجربة العشوائية (مجموعة تحوي عنصراً واحداً ) فإذا كان A حدثاً بسيطاً فإن n(A) = 1 حدث مركب Compond Event مجموعة جزئية تحوي أكثر من ناتج واحداً من نواتج التجربة العشوائية فإذا كان B حدثاً مركباً فإن n(B) > 1 تذكر أن : إذا كانت A,B فإن : A∩B هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى A و B A U B هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى A أو B

حدث مستحيل Impossible Event مجموعة جزئية خالية ø من فضاء العينة (S) فإذا كان Dحدثاً مستحيلاً فإن n(D) = 0 حدث مؤكد Certain Event مجموعة جزئية تساوي فضاء العينة (S) : فإذا كان F حدثاً مؤكداً فإن n(F) = n(S) حدثان متنافيان Mutually Exculsive Events يقال للحدثين A,B أنهما متنافيان إذا كان وقوع أحدهما ينفي (يمنع) وقوع الآخر أثناء التجربة أي أن : A∩B= Ф و يكون n(A∩B) = n(Ф) = 0

حدثان مستقلان Independent Events حدث متمم Complement Event الحدث المتمم للحدث A هو الحدث الذي يحوي جميع عناصر فضاء العينة (S) التي لا تنتمي إلى الحدث A نرمز إلى الحدث المتمم بالرمز Ᾱ A ، Ᾱ هما حدثان متنافيان ، ويكون : A U Ᾱ = S , A ∩ Ᾱ = Ф حدثان مستقلان Independent Events يقال للحدثين A,B أنهما مستقلان إذا كان وقوع أحدهما لا يؤثر على وقوع الآخر أثناء التجربة العشوائية .

مثال توضيحي الحل : عند رمي حجر نرد أعط مثالاً على كل من : a. حدث بسيط b. حدث مركب c. حدث مستحيل d. حدث مؤكد e. حدثيين متتنافيين f. حدث متمم g. حدثين مستقلين الحل : a. ظهور العدد 5هو حدث بسيط . b. ظهور أحد مضاعفات العدد 3 هو حدث مركب . c. ظهور العدد 8 هو حدث مستحيل . d. ظهور عدد من 1 الى 6 هو حدث مؤكد . e. الحدثان : A: « ظهور أحد العددين 6،5 ، B: ظهور عددين مجموعهما يساوي 4 ، هما حدثان متتنافيان f. إذا كان الحدث A: « ظهور أحد العددين 6،5 « فإن الحدث Ᾱ : « ظهور عدد أصغر من أو يساوي 4» هو الحدث المتمم للحدث A . g. إذا رمينا حجر النرد مرتين ، الحدثان A: « ظهور العدد 5 في المرة الأولى» ، B: «ظهور العدد 4 في المرة الثانية» هما حدثان مستقلان .

مثال (1) في تجربة رمي حجر نرد مرة واحدة وملاحظة الوجه العلوي . 1. اكتب وحدد نوع كل من الأحداث التالية : ظهور عدد أكبر من 5 . ظهور عدد فردي . ظهور عدد زوجي . ظهور عدد أصغر من 7 . 2. أثبت أن B,C حدثان متتامان . .3بين فيما إذا كان الحدثان C,D متنافيان أم لا .

الحل A = {6} , n(A)= 1 ∴ A حدث بسيط . b. B = {1,3,5} , n(B) = 3 1. A = {6} , n(A)= 1 ∴ A حدث بسيط . b. B = {1,3,5} , n(B) = 3 ∴ B حدث مركب . c. C = {2,4,6} , n(C) = 3 ∴ C حدث مركب . d. D = {1,2,3,4,5,6} , n(D) = 6 ∴ D حدث مؤكد . 2. ليكن S فضاء العينة . S = {1,2,3,4,5,6} B U C = {1,2,3,4,5,6} = S,B ∩ C = Ф ∴ B,C حدثان متتامان . b. C∩D = {2,4,6 } ≠ Ф ∴ الحدثان C,D ليسا متنافيان . ملاحظة : نرمز لاحتمال الحدث E بالرمز p(E) .

حاول أن تحل 1. في أحد المخيمات الصيفية يشارك الطالب في مجموعة من الأنشطة وهي : كرة القدم ، كرة السلة ، كرة المضرب ، الكرة الطائرة ، السباحة وركوب الدراجات . اكتب وحدد نوع كل من الأحداث التالية : A (1) : المشاركة في كرة المضرب فقط . B (2) : المشاركة في الأنشطة التي تستخدم فيها كرة كبيرة . C (3) : المشاركة في الأنشطة التي لاتستخدم فيها كرة . (1) . بين فيما إذا كان الحدثان B,C متتامان أم لا . (2) . أعط مثالاً عن حدثين متنافيين .

الحل { كرة المضرب } = A  A حدث بسيط n(A) = 1 2. { كرة القدم ، كرة السلة ، الكرة الطائرة } = B  B حدث مركب n(B) = 3 3. { السباحة ، ركوب الدراجات } = C n(C) = 2 C حدث مركب ( b ) } كرة القدم , كرة السلة , كرة المضرب , كرة الطائرة , ركوب الدرجاتB U C= { B U C ≠ s B , C حدث مركب غير متتامين B , C (2) حدثان متنافيان B ∩ C = }ركوب الدراجة ,السباحة{ ∩ } كرة القدم , كرة السلة , كرة الطائرة { = Ø

الاحتمال إذا كانت جميع نواتج التجربة العشوائية لها فرصة الظهور نفسها فإن احتمال الحدث هو : عدد نواتج الحدث E عدد نواتج فضاء العينة S لأن أي حدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة ، فإن عدد نواتج حدث ما يكون دائماً أصغر من أو يساوي عدد نواتج فضاء العينة لذلك فإن احتمال وقوع حدث ما دائماً عدداً ينتمي الى الفترة ] 1 , 0 [ . خواص الاحتمال لحدث ما Properties Of The Probabilty Of An Event E حدث في فضاء عينة S منته وغير خالٍ . 0 ≤ p(E) ≤ 1 إذا كان E حدثاً مستحيلاً ، فإن p(E) = 0 إذا كان E حدثاً مؤكداً ، فإن p(E) = 1 مجموع احتمالات النواتج في فضاء العينة = 1

مثال (2) يبين الجدول المقابل وسيلة النقل التي يستخدمها طلاب الصف الحادي عشر بشعبتيه للمجيء إلى المدرسة . اختير طالب عشوائيا من بين طلاب شعبتي الصف الحادي عشر . ما احتمال أن يكون هذا الطالب من الذين يستقلون الحافلة المدرسية للمجئ إلى المدرسة ؟ الحل : لنفرض الحدث E : «المجيء بالحافلة المدرسية إلى المدرسة» . عدد نواتج الحدث E : 16+15 = 31 عدد نواتج فضاء العينة S : (16+6+2)+(15+8+5) = 52 P(E) =

حاول أن تحل 2. في المثال (2) ، a. ما احتمال أن يكون هذا الطالب من الذين يقلونهم أهلهم إلى المدرسة ؟ b. ما احتمال أن يكون هذا الطالب من الشعبة B ؟

الحل نفرض أن الحدث C: (أن يكون الطالب من الذين يقلونهم أهلهم الى المدرسة) عدد النواتج الحدث C : 14 =8 + 6 عدد نواتج فضاء العينة S = 52 14 52 7 26 a. p(C) = = لنفرض الحدث B : أن يكون هذا الطالب من الشعبة B عدد نواتج الحدث B : 15 + 5 + 8 = 28 عدد نواتج فضاء العينة S = 52 28 52 7 13 p(B) = =

مثال (3) (ii) عدد نواتج الحدث E : الحل احتمال الحدث = حصل الطلاب : مصطفى ، محمد ، طه ، أحمد ، أمين على الدرجة النهائية العظمى في اختبار الرياضيات وأراد مدير المدرسة اختيار 3 منهم لتمثيل المدرسة في مسابقة ثقافية . ما احتمال اختيار «محمد» ؟ الحل P(E) = عدد نواتج الحدث E عدد نواتج فضاء العينةS = n(E) n(S) احتمال الحدث ∵ نتكلم عن المجموعة ∴ ترتيب العناصر غير مهم n(S) = 5! (5-3)! x 3! = 10 عدد نواتج فضاء العينة : اختيار 3 طلاب من بين 5 : (ii) عدد نواتج الحدث E : 1C1 = 1 اختيار محمد بطريقة واحدة 4C2 = 4! (4-2)! x 2! = 6 يبقى اختيار طالبين من بين الأربعة المتبقين 1C1x 4C2 = 1x6=6 ∴ عدد نواتج الحدث E : P(E) = 6 = 3 10 5 احتمال اختيار «محمد» يساوي

في المثال (3) اعتذر طه عن المشاركة ، فما احتمال اختيار «محمد» ؟ حاول أن تحل في المثال (3) اعتذر طه عن المشاركة ، فما احتمال اختيار «محمد» ؟

الحل = عدد نواتج فضاء العينة : اختيار 3 طلاب من بين 4: = = = P(E) = عدد نواتج الحدث E عدد نواتج فضاء العينةS = n(E) n(S) احتمال الحدث : ∵ نتكلم عن المجموعة ∴ ترتيب العناصر غير مهم n(S) = 4! (4-3)! x 3! = 4 عدد نواتج فضاء العينة : اختيار 3 طلاب من بين 4: (ii) عدد نواتج الحدث E : اختيار محمد بطريقة واحدة : 1C1= 1 يبقى اختيار طالبين من بين ثلاثة المتبقين بسبب اعتذار طه : 3C2 = 3! (3-2)! x 2! = 3 1C1x 3C2 = 1x3=3 ∴ عدد نواتج الحدث E : 3 4 P(E) = n(E) n(S) = احتمال اختيار «محمد» يساوي

B,A حدثان فإن p(A U B) = p(A)+p(B) – p((A ∩ B) درست فيما سبق بعض القواعد التي تساعد في يايجاد احتمال بعض الأحداث A,B في فضاء العينة S: B,A حدثان فإن p(A U B) = p(A)+p(B) – p((A ∩ B) B,A حدثان متنافيان p(A ∩ B) = 0 B,A حدثان مستقلان p(A).p(B) (A ∩ B) = Ᾱ هو الحدث المتمم للحدث A p(Ᾱ) = 1 – p(A) معلومة : P (A ∩ B) = 1 – p(A ∩ B) p(A U B) = 1 - p(A U B)

الحـــــــــــــــــــــل : مثال 4 يتصل المستمعون بإحدى الإذاعات ، لتسمية أغنيتهم المفضلة . تختار إدارة الإذاعة كل ساعة 4 مستمعين وتبث أغانيهم . اتصلت مرتين ، الأولى بعد الثامنة صباحاً والثانية بعد الثالثة بعد الظهر . الجدول المقابل يبين عدد المتصلين ، فما احتمال أن تبث الإذاعة الأغنيتين المفضلتين لديك ؟ الحـــــــــــــــــــــل : ليكن الحدث A : « تم اختيارك من بين متصلي الساعة الثامنة « الحدث B : « تم اختيارك من بين متصلي الساعة الثالثة « نلاحظ أن الحدثين A,B مستقلان ∴ p(A ∩ B ) = p(A) x p(B) P(A) = 1c1x124c3 125c4 = 4 125 توضيح : اختيارك بين متصلي الساعة الثامنة يعني اختيارك واختيار 3 من بقية المتصلين أي من بين 124 . P(B) = 1c1x199c3 200c4 = 4 200 1 50 احتمال أن تبث الإذاعة الاغنيتين المفضلتين لديك يساوي p(A ∩ B ) = x 1 50 2 3125 = 4 125 6250 2 3125

حاول أن تحل 4. في المثال (4) إذا اختارت إدارة الإذاعة 5 متصلين كل ساعة . فما احتمال أن تبث اغنيتك المفضلة ؟

الحــــــــــــــل p(A ∩ B ) = A , B حدثان مستقلان توضيح : اختيارك بين متصلي الساعة الثامنة يعني اختيارك واختيار 4 من بقية المتصلين أي من بين 124 . الحــــــــــــــل A , B حدثان مستقلان p(A ∩ B ) = p(A) x p(B) P(A) = 1c1x124c4 125c5 = 1 25 P(B) = 1c1x199c4 200c5 = 1 40 p(A ∩ B ) = x 1 40 25 = 1000

مثــــــــــــــال (5) حوالي 53% من طلاب إحدى الجامعات عمرهم أصغر من 25عاماً وحوالي 21% من طلاب هذه الجامعة عمرهم أكبر من 34 عاماً . اختير طالب عشوائيا من هذه الجامعة . ما احتمال أن يكون عمر الطالب أصغر من 25 أو أكبر من 34 ؟ ما احتمال أن يكون عمر الطالب 25 عاماً فأكثر ؟ الحــــــــــــــــل ليكن الحدث A «عمر الطالب أصغر من 25 عاماً» . ليكن الحدث B «عمر الطالب أكبر من 34 عاماً» . ∴ الحدثان A,B متنافيان . ∴ p(A ∩ B ) = 0 p(A) = P(B) = 53 100 21 0.53 , 0.21 الحدث عمر الطالب أصغر من 25 أو أكبر من 34 هو U B A ∴ p(A U B ) = p(A) + p(B)-p(A ∩ B ) = 0.53 + 0.21 – 0 = 0.74 الحدث عمر الطالب 25 فأكثر هو حدث متمم للحدث A وهو Ᾱ ∴ p(Ᾱ) = 1 - p(A) = 1- 0.53 = 0.47

حاول أن تحل في المثال 5 ، أوجد احتمال كل حدث مما يلي : عمر الطالب بين 25 عاماً و34 عاماً . عمر الطالب 34 عاماً وأقل .

الحــــــــــل p(A) = P(B) p(A) p(B) P(B) = 1 - = 1 - 0. 21 = 0.79 53 100 21 0.53 0.21 p(A U B) = 1 - p(A U B) = 1 – ( + ) = 1 – ( 0.53 + 0 . 21 ) = 0.26 p(A) p(B) P(B) = 1 - = 1 - 0. 21 = 0.79 P(B)

الحــــــــــل الآخر أحتمال أن يكون عمر الطالب 25 عام فأكثر هو أحتمال أن يكون عمر الطالب 25 عام فأكثر هو 26% + 21 % = 47 % S أعمارهم اصغر من 25 أعمارهم أكبرمن 34 53 % 21 % 26 % أحتمال أن يكون عمر الطالب بين25 عاما و 34 عاما هو 26 % أحتمال أن يكون عمر الطالب 34عام فأقل هو 53 % + 26 % = 79 %

مثــــــــــال (6 ) الحــــــــــــــل : = = = + - = رُمي حجر نرد منتظم ، فما احتمال الحصول على أحد مضاعفات العدد 3 أو عدد زوجي ؟ الحــــــــــــــل : S = { 1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 ليكن الحدث A : «مضاعفات العدد 3» A = { 3,6 } p(A) = الحدث B : «عدد زوجي» B = { 2,4,6 } p(B) = الحدثان A,B غير متنافيان لأن A ∩ B = {6} p(A ∩ B) = ∴ p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) 2 6 1 3 = 3 6 1 2 = 1 6 2 6 3 1 4 + = - احتمال الحصول على عدد من مضاعفات العدد 3 أو عدد زوجي يساوي طريقة أخرى A U B = {2,3,4,6} P(A U B) = 2 3 n(A U B) n(S) 4 6 =

حاول أن تحل .6 . في المثال (6) ما احتمال الحصول على عدد زوجي أو عدد زوجي أو عدد أولي ؟

الحـــــــــــل S = { 1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 ليكن A” “ عدد زوجي { 2,4,6 } = A p(A) = ليكن الحدث B . عدد أوليا { 2,3,5 } = B p(B) = ليكن الحدث C . الحصول على عدد زوجي أو أولي 3 6 1 2 = 3 6 1 2 = ∴ p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) 1 2 6 5 + = - الحدثان A,B غير متنافيان لأنه 1 6 A ∩ B = {2} p(A ∩ B) =

احتمال ذات الحدين = nCk∙mk(1-m)n-k = ∙ mk(1-m)n-k إقامة تجربة n مرة وتسجيل نتائجها علماً أن هناك فقط لكل تجربة نتيجتين H أو T إذا كان p(H) = m ، الحدث E «H تحقق فقط K مرة» فبالتالي : P(E) = nCk∙p(H)k ∙p(T)n-k = nCk∙mk(1-m)n-k = ∙ mk(1-m)n-k يستخدم احتمال ذات الحدين : في حالة تكرار الحدث عدد مرات : إذا كان للحدث ناتجان فقط : ربح – خسارة ، نجاح – فشل ، كتابة – صورة، ... n! k!(n-k)

مــــــــــــثال 7 خلال شهر التسوق يقدم أحد المحلات العرض التالي : عند شراء كل صنف تحصل على بطاقة ، تفوز 40% من البطاقات بجوائز ويتم اختيار هذه البطاقات الرابحة بشكل عشوائي مع راشد3 بطاقات ، ما احتمال أن يفوز راشد بجائزتين ؟ الحـــــــــــل : نفرض الحدث A : «فوز راشد بجائزة» p(A) = m = 0.40 الحدث B : «عدم فوز راشد بجائزة» p(B) = 1 - m = 0.60 والحدث E : «فوز راشد بجائزتين» فيكون : n = 3 و k = 2 P(E) = nCk∙(m)k ∙ ( 1 – m )n-k = 3c2(0.4)2(0.6)1 = 0.288 احتمال فوز راشد بجائزتين يساوي 0.288

حاول أن تحل 7. في المثال (7) ، ما احتمال أن يفوز راشد بجائزة واحدة فقط ؟

الــــــــــــــــحل نفرض الحدث A : «فوز راشد بجائزة» p(A) = m = 0.40 الحدث B : «عدم فوز راشد بجائزة» p(B) = 1 - m =1 – 0.40= 0.60 والحدث E : «فوز راشد بجائزة واحدة فقط » فيكون : n = 3 و k = 1 P(E) = nCk∙(m)k ∙ ( 1 – m )n-k = 3c1(0.40)1(0.60)3-1 = 0.432

مثـــــــــــال (8) في احدى الالات الحاسبة 4 بطاريات ، احتمال أن تخدم كل بطارية مدة عام كامل يساوي 90% . ما احتمال ان تخدم كل من البطاريات الاربع مدة عام ؟ الحــــــــــــــل : ليكن نفرض الحدث A : «تخدم البطارية مدة عام كامل» p(A) = m = 0.9 الحدث B : «لا تخدم البطارية مدة عام كامل» p(B) = 1 - m = 1 – 0.9 = 0.1 والحدث E : «تخدم كل من البطاريات الاربع مدة عام كامل» نستخدم احتمال ذات الحدين n = 4 و k = 4 P(E) = nCk∙(m)k ∙ ( 1 – m )n-k = 4c4(0.9)4(0.1)0 = 0.6561 احتمال أن تخدم كل من البطاريات الأربع مدة عام يساوي 0.6561

حاول أن تحل في المثال (8) ، ما احتمال أن تخدم 3 بطاريات فقط مدة عام كامل؟

الحــــــــــــل : A ليكن الحدث تخدم البطارية مدة عام كامل» p(A) = m = 0.9 : B ليكن الحدث «لا تخدم البطارية مدة عام كامل» p(B) = 1 - m = 1 – 0.9 = 0.1 والحدث E : «تخدم كل من البطاريات الاربع مدة عام كامل» فيكون : n = 4 و k = 3 P(E) = nCk∙(m)k ∙ ( 1 – m )n-k = 4c3(0.9)3(0.1)4 – 3 = 0.2916

المرشد لحل المسائل الحل يلعب فيصل فيصل كرة المضرب ، احتمال نجاحه في الإرسال الأول يساوي ⅔ . إذا فشل في الإرسال الأول يحق له أن يحاول مرة ثانية ، وفي هذه الحالة احتمال نجاحه في الإرسال يساوي ⅘ عندما يفشل في الارسالين يسمى ذلك خطأ مزدوج وإلا يعتبر الإرسال ناجحاً . المطلوب : ما احتمال أن ينجح فيصل في الإرسال ؟ ما احتمال أن ينجح فيصل في الإرسال 5 مرات من 7 محاولات ؟ الحل ينجح فيصل في الارسال في الحالتين : اذا نجح في الإرسال الأول . إذا فشل في المحاولة الأولى ونجح في الثانية . احتمال الفشل في الارسال الأول : 1-⅔= ⅓

فلنفكر يمكن رسم مخطط الشجرة البيانية ليمثل الحالة : ( النجاح في الإرسال ) = p (النجاح في الإرسال الأول والنجاح في المرة الثانية) p + (الفشل في الإرسال الأول والنجاح في المرة الثانية) p P = ⅔ + ⅓ x ⅘ = 14 15 14 15 احتمال أن ينجح فيصل في الإرسال يساوي b. نستخدم احتمال ذات الحدين ، لأن الحدث تكرر 7 مرات مع ناتجين : النجاح أو الفشل . ليكن E الحدث : « النجاح 5 مرات من 7 محاولات » . احتمال النجاح 5مرات من 7 محاولات يساوي حوالي 0 . 0661

في لعبة القوس والنشاب ، احتمال أن يصيب عبدالله الهدف يساوي ⅕ مسألة إضافية في لعبة القوس والنشاب ، احتمال أن يصيب عبدالله الهدف يساوي ⅕ فما احتمال أن يصيب عبدالله الهدف على الأقل مرتين من 7 محاولات ؟ P = ( يصيب الهدف ) = 0.2 P = ( لا يصيب الهدف ) = 0.8 احتمال أن يصيب عبدالله الهدف علي الاقل مرتين من 7 محاولات K = 2 , n = 7 7C4(0.2)4(0.8)3 + 7C7(0.2)7 = 7C2(0.2)2(0.8)5 + = 7C3(0.2)3(0.8)4 + 7C5(0.2)5(0.8)2 + 7C6(0.2)6(0.8)1 + = 0.424