اولاَ : تعظيم المخرجات في ظل قيد الكلفة نتطرق اولاً الى مشكلة تعظيم المخرجات في ظل قيد الكلفة او وجود حد اعلى لمجموع الكلفة لايمكن المنشأة ان تتجاوزه عند انتاجها للمخرجات نفترض ان قيد مجموع الكلفة (C2 ) كما مبين في الشكل ( 13 ) يتطلب هذا القيد بأن يقع حل هذه المشكلة ضمن الامكانيات التي تتكون من توليفة المدخلات التي تقع على او تحت منحنى سواء الكلفة ( C2 ) اي المنطقة المظللة وهكذا يتم تعظيم المخرجات اذا تم التوصل الى توليفة المدخلات ضمن منطقة الامكانيات وعلى الخصوص على منحنى سواء الكلفة والتي تحقق اكبر كمية من المخرجات ومن خلال الشكل (13) نجد بأن التوليفة (A)التي تقع على منحنى سواء الانتاج (Q2 ) تحقق هذا الشرط وعلى الرغم من ان التوليفتين (C,B) تقعان على منحنى سواء الكلفة (C2 ) الاان هاتين التوليفتين تحققان مستوى من المخرجات اقل من التوليفة (A )لانهما تقعان على منحنى سواء الانتاج (Q1 )كذلك فلا توجد اية نقطة ضمن الامكانيات والتي تحقق كمية اكبر من المخرجات التي تحققها نقطة (A ) . وان العرض اعلاه يوضح خاصيتين مهمتين يمكن بواسطتهما تحديد الشروط الرياضية المطلوبة للحصول على التوليفة للمدخلات ( K,L )الاولى هي ان الحل يقع على حدود منطقة الامكانيات لتوليفة المدخلات ،ولهذا فليس لنا ان نختبر منحنى سواء الانتاج (Q2 ) ومنحنى سواء ( C2 ) للحصول على الحل الاوفق . الخاصية الثانية هي ان الحل يظهر في نقطة تماس منحنى سواء الانتاج مع خط التكاليف ولهذا فان انحدار منحنى سواء الانتاج يكون مماساً لخط التكاليف في هذه النقطة .

ثانياً : تخفيض الكلفة في ظل قيد المخرجات نتطرق الان الى مشكلة تخيض الكلفة الكلية لانتاج مستوى محدد من المخرجات ، نفترض ان المنشأة ترغب بانتاج (Q2 ) وحدة من المخرجات على الاقل فكما مبين في الشكل ( 14 ) فان هذا القيد يتطلب ان يقع الحل ضمن منطقة الامكانيات المشتملة على توليفة المدخلات الواقعة على منحنى سواء الانتاج (Q2)او تلك التي تقع فوق والى يمين الشكل والتي تحقق اكبر قيمة من المخرجات ( المنطقة المظللة ) وهكذا يتم تحقيق ادنى كلفة لانتاج الحجم المطلوب من المخرجات بايجاد توليفة المدخلات التي تقع على خط التكاليف الذي يحقق ادنى كلفة ضمن منطقة الامكانيات ومن الشكل ( 14 ) نجد بأن نقطة ( D ) على خط التكاليف ( C2) تحقق هذا الشرط لانها تمثل التوليفة التي تحقق ادنى كلفة ، اما التوليفتين (F, E ) تحققان كلفة اعلى رغم انهما تقعان على منحنى ( Q2 ) لانهما تقعان في نفس الوقت على خط الكلفة ( C3 ) كذلك فليس هناك اية نقطة في منطقة الامكانيات تحقق مجموع كلفة ادنى من تلك التي تحققها نقطة ((D وهكذا نجد بأن استخدام (L1) وحدة من العنصر ( L ) مع ( K) وحدة من العنصر (K ) يحقق ادنى كلفة مقيدة بحجم الانتاج , من الواضح ان حالة تخفيض الكلفة تشبه حالة تعظيم المخرجات من حيث ان التوليف الاوفق للمدخلات يظهر على حدود منطقة الامكانيات وفي نقطة التماس بين خط التكاليف ومنحنى سواء الانتاج ،كما ان انحدار خط الكلفة يساوي انحدار منحنى سواء الانتاج في نقطة التوليف الاوفق بين المدخلات ، استناداً الى خاصية الحل هذه وباستخدام الاسلوب السابق يمكن ان نثبت بان الشرط الذي لابد من تحققه في مشكلة تعظيم المخرجات لابد وان يتحقق لكي تمثل توليفة المدخلات الحل الاوفق لمشكلة تخفيض الكلفة المقيد بحجم المخرجات .