المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية وزارة التربية المركز الإقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية ألأدارة العامة لمنطقة الفروانية التعليمية ثانوية درة الهاشيمية قسم الرياضـــيات

ورشة عمل في منهج الثاني عشر علمي مشتقات الدوال المثلثية الوحدة الثانية مشتقات الدوال المثلثية بند ( 2 – 4 ) ( 2 – 5 ) ( 2 – 6 )

قسم الرياضيات الموجهه الأولي أ / جميلة البيدان مديرة المدرسة أ / هيا الشمري الموجهه الفنية أ / إقبال البحراني رئيسة القسم أ / منيفة الشمري

إعداد أ /سماح عبدالله أ /مروة محمد بإشراف رئيسة القسم أ / منيفة الشمري إعداد حاسوب أ / مروة محمد

*يوجد المشتقات العليا للداله *يعرف الاشتقاق الضمنى الأهداف السلوكية *يوجد المشتقات العليا للداله *يعرف الاشتقاق الضمنى

المشتقات ذات الرتب العليا ولأشتقاق الضمني التدريس

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مناقشة دعنا نفكر ونناقش لتكن f ( x ) = x 4 – 3 x 2 + 5 \ \ f ( x ) = 4 x 3 - 6 x = g ( x ) أ كمـــــــــــــــل g ( x ) = 12 x 2 - 6 \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) \ \ ) f ( x )) = 12 x 2 – 6 هــــــــــــــــل \ \ g ( x ) = \ ) f ( x ))

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) أولاً : المشتقات ذات الرتب العليا d y d x رمزنا سابقاً لمشتقة داله علي مجالها بالرمز والأن سوف تسمي المشتقه من الرتبه الأولي للداله بدلاله المتغير y = \ y \ X y والمشتقه الأولي نفسها ( ) يمكن ان تكون داله قابله للاشتقاق علي مجالها بدلاله المتغير وبالتالي يمكن كتابتها : y \ X مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = = \\ d y d x \ d dx d y d x d2 y d x2 [ ] وهذه تسمي المشتقه من الرتبه الثانيه للداله بدلالة والمشتقه الثانيه نفسها يمكن ان تكون داله قابله للاشتقاق علي مجالها بدلالة المتغير وبالتالي يمكن كتابة : X y X y = = = \\\ d) y ( d x \\ d dx d2 y d x 2 d3 y d x 3 [ ]

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) وهذه تسمي المشتقه من الرتبه الثالثة للداله بدلالة : X y وبصوره عامه إذا كان عدداً صحيحاً حيث فإن مشتقة الداله من الرتبه بدلالة هي علي الشكل التالي : n > 1 n x n y y (n ) = d dx d n y d xn [ y ( n – 1) ] = مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) تذكــــر a y = f ( x ) d y d x b = y \

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) ملاحظه احيانا ً نستخدم قاعده السلسله مرتين أو اكثر لإيجاد مشتقه مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) ملاحظه لايجب الخلط بين رتبه مشتقه الداله , من قوي y y n y (n )

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال (1) صـ 109 اوجد المشتقات حتي الرتبه الرابعه للداله بدلاله المتغير y = 2 x 7 – 4 x 2 + 3 x – 5 X الحـــــــل y = 2 x 7 – 4 x 2 + 3 x – 5 y = = 14 x 6 – 8 x + 3 d y d x مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = 84 x 5 – 8 \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = 420 x 4 d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة y ( 4 ) = = 1680 x 3 d4 y d x4 مشتقه من الرتبه الرابعة

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول ان تحل ( 1) صـ 109 اوجد المشتقات حتي الرتبه الثالثة للداله بدلاله المتغير y = 4 x 5– 5x 3 + 7 X الحـــــــل y = 4 x 5– 5 x 3 + 7 y = = 20 x 4 – 15 x 2 d y d x مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = 80 x 3 – 30 x \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = 240 x 2 - 30 d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال (2 ) صـ109 اذا كانت بين ان y ( 4 ) = y y = sin x الحـــــــل داله معرفه لكل قيم علي R y y = sin x X y = =cos x d y d x ماذا نلاحظ مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = - sin x \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = - cos x d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة y ( 4 ) = = sin x d4 y d x4 مشتقه من الرتبه الرابعة y ( 4 ) = y

- cos x cos x y ( 4 ) + y = Sin x مشتـــــقة مشتـــــقة مشتـــــقة \\ Sin x مشتـــــقة مشتـــــقة - cos x cos x مشتـــــقة مشتـــــقة - Sin x

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول ان تحل ( 2 )صـ 109 اذا كانت بين ان y ( 4 ) + y = 0 y = cos x \\ الحـــــــل داله معرفه لكل قيم علي y = cos x R y X y = = sin x d y d x مشتقه من الرتبه الأولي \ d2 y dx 2 y = = - cos x \\ مشتقه من الرتبه الثانية مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = = sin x d3 y d x3 \\\ مشتقه من الرتبه الثالثة y ( 4 ) = = cos x d4 y d x4 مشتقه من الرتبه الرابعة y ( 4 ) + y = cos x +( - cos x ) = 0

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال ( 3 ) صـ110 أوجد حيث y = 1 Cos x \\ y الحـــــــل y = 1 Cos x y = sec x y = =sec x tan x d y d x \ y = ( sec x tan x) d dx \\ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) = tan x sec x + sec x tan x d dx d dx = tan x . Sec x .tanx + sec x .sec 2 x = sec x tan 2x + sec 3 x

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول ان تحل (3)صـ110 أوجد حيث y = 1 sin x \\ y الحـــــــل y = 1 sin x y = csc x y = = - csc x . cot x d y d x \ y = ( -csc x . cot x) d dx \\ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) = - csc x . – csc 2 x + cot x . cot x . csc x = csc x . cot 2x + csc 3x

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) يمكن ايجاد مشتقات بعض الدوال علي الصوره y = 3 x 2 – 2x + 1 y = x 2 + 4 y – x y = x y ( 1 – x ) =x y = f ( x ) 1 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) 3 x y = 1 – x حيث يمكن كتابتها بالصوره الصريحه ومنه يمكننا ايجاد مشتقة الداله او ميل المنحني y =f (x )

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) منحني الدالة نجد ان ميل المنحني معرف عند جميع نقاطه بأستثناء النقطتين ( 0 ، 5 ) ، ( 0 ، 5- ) 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 X 2 + y 2 = 25 f(x ) = 25 – x2 المنحني هو اتحاد منحنيي الدالتين قابلتين للاشتقاق عند اي نقطة في مجالها عدا 5 ، 5- y 1= f1(x ) = - 25 – x2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y 2= f2(x ) = 25 – x2 f(x ) = - 25 – x2

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) هل يمكن ايجاد ميل المنحني اذا كان من غيرالممكن التوصل للصورة الصحيحة للحصول علي الدوال المكونه لها نلاحظ في الدوال السابقه يصعب فصلها , وكتابتها علي الصورة الصريحة لذلك نلجأ للاشتقاق الضمني 1 y 2 – 2 x y + 3x = 0 x 2 - y + 2 y = 0 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)

y x y=f(x) f (x,y ) (4)ورقه عمل تعريف يكون المتغيرالمستقل فى طرف والمتغير التابع فى الطرف الاخر وهى على الصوره y x الدالة الصريحة y=f(x) الدالة الضمنيه هى داله تربط بين متغيرين يصعب فصلهما وتكون علي الصورة f (x,y ) :بين اى الدوال الاتيه دالة صريحه وايا منها دالة ضمنيه y= 4xy+y 2 y=x 2+3 x+ 1 y3=x 3 + x y ومن ثم 1 2 3

(5)ورقه عمل اوجد في كل مما يلى : dy dx X 2+2xy-y 2=7 y=x5+3x3-4x y=2x3 +7 f(x) =x2+3x 1 2 3 ماذا تلاحظ؟

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال توضيحي أوجد حيث d y d x y 3 + 5 y 2 – x 3 = 0 االحـــــــــــــــــل y = f ( x ) وبالتعويض في المعادلـــــة نفــــــــــــــرض أن مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) (f( ( x )) 3 + 5 ( f ( x ))2 – x 3 = 0 وبإستخدام قاعدة السلسلة نوجد المشتقه فتكون كالتالي \ 3(f ( x )) 2 . f ( x ) + 10 f( x) . f ( x ) – 3 x 2= 0 \ \ 3 y 2 y + 10 y y - 3 x 2 = 0 \ أي أن وبحل هذه المعادله للحصول علي \ y) 3 y 2 + 10 y (= 3 x 2 يتم حذفها

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) ) 3 y 2 + 10 y ( 3 x 2 \ y = وبإستخدام نفس الخطوات المتبعه في المثال التوضيحي يمكننا التوصل الي ان : ( y 2 ) = 2 y y , ( y 3 ) = 3 y 2 y \ \ \ \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) عموما ً تتم عملية الأشتقاق الضمني وفق الخطوات التالية علي الترتيب : اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x 1 تجميع الحدود التي تحتوي أو في احد اطراف المعادلة y \ d y d x 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) إخراج أو كعامل مشترك \ d y d x 3 y كتابة المعادلة علي صورة أو بدلالة ، \ d y d x x y y 4

في الحالات التاليه اوجد d y d x y = مثال ( 4 ) صـ 111 \\ في الحالات التاليه اوجد d y d x \ y = الحـــــــل y 2 + x y = 7 x a نشتق طرفي المعادله بالنسبه للمتغير بإعتبار أن داله في قابله للاشتقاق وتطبيق قاعدة السلسله هو : X y X 2 y y + x y + y = 7 \ \ y ( 2y + x (=7 – y \ ) 2 y + x ( 7- y \ y =

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال ( 4 ) صـ 111 y = x + x 2 y 5 b = + ( x 2 y 5 ) dy dx dx d dx y = 1 + y 5 + x 2 \ d( x 2 ) dx d(y 5 ) dx y = 1 + 2 x y 5 +5 y4y x 2 \ \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y - 5 y4y x 2 = = 1 + 2 x y 5 \ \ y ( 1 - 5 y4 x 2 ) = = 1 + 2 x y 5 \ ) 1 - 5 y4 x 2 ( \ 1 + 2 x y 5 y =

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول ان تحل رقم ( 4 ) صـ 112 \\ لتكن ، اوجد d y d x \ y = y 2 = x 2 – 2 x الحـــــــل y 2 = x 2 – 2 x 2 y y = 2 x – 2 \ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y y = x – 1 \ y X – 1 \ y =

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال ( 5 ) صـ 112 أوجد ميل المماس للمنحني ( الدائره ) الذي معادلته x 2+ y 2 = 25 عند النقطة ( 3 , - 4 ) الحـــــــل يمكننا ايجاد ميل المنحني عند النقطه بسهوله بإستخدام الأشتقاق الضمني للمعادله الأصليه بالنسبه الي ( 3 , - 4 ) X d d x d d x d y d x - x y ( x 2 + y 2 ) = ( 25 ) = مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) d d x d d x x 2 + y 2 = 0 بالتعويض d y d x - 3 - 4 3 4 = = d y d x 2 x + 2 y = 0 ( 3 , - 4 ) d y d x 2 y = - 2x ميل المماس = 3 4

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول أن تحل ( 5 ) صـ 112 أوجد ميل المماس للمنحني الذي معادلته (1 ، 1 ) عند النقطة X 2 - y 2 + y x – 1 = 0 الحـــــــل X 2 - y 2 + y x – 1 = 0 وبالتعويض ب ( 1 ، 1 ) \ \ 2 x– 2 y y + y + y x= 0 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = 3 2 x + y + y ( - 2 y + x ) = 0 \ 3ميل المماس المنحني = \ y ( - 2 y + x ) = - (2 x + y) ) x – 2 y ( (- 2x - y ) \ y =

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال ( 6 ) صـ113 أوجد ميل المماس للمنحني الذي معادلته 2y = x 2 + sin y ( 2 π, 2 π) عند النقطة الحـــــــل d d x d d x ( 2y ) = ( x 2 + sin y ) dy d x d d x d d x 4 π 2 –1 2 = ( x 2) + ( sin y ) مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) = d y d x dy d x = 2x +cos y = 4 π d y d x ( 2 – cos y ) = 2 x ميل المماس المنحني 4 π d y d x 2(2 π) 2 –cos(2π) = بالتعويض ( 2 π, 2 π)

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول أن تحل ( 6 ) صـ 113 أوجد ميل المماس للمنحني الذي معادلته X ǂy حيث (2 ، )عند النقطة 1 2 X 2 + y 2 - 2 y x = 1 الحـــــــل تعديل تعديل X 2 + y 2 - 2 y x = 1 ) x – y ( X - y 2 X +2 y y – 2( x y + y ) = 0 \ \ \ y = = 1 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) 2 X +2 y y – 2 xy - 2 y = 0 \ \ X + y y –x y - y = 0 ميل المماس = 1 \ \ X – y + yy - x y = 0 \ \ X – y = y ( x – y ) \

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) مثال( 7) صـ113 للمنحني الذي معادلته اوجد ثم أوجد ميل المماس لهذا المنحني عند النقطه ( 1 ، 3 ) 2 y + y = x y \ الحـــــــــل 2 y + y = x 1 2 الأشتقاق الضمني 2 . y y + y = x -1 2 y 1 2 \ \ y \ = مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) 1 + y 1 y 2 . y + y = 1 \ \ بالتعويض بـ ( 1، 2 ) y \ 1 = 1 2 = 1 + 1 \ 1 y y ( + 1 ) =1 ميل المماس = 1 2 \ 1 y = + 1 1 y

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول ان تحل صـ 114 رقم ( 7 ) للمنحني الذي معادلته اوجد ثم أوجد ميل المماس لهذا المنحني عند النقطه ( 1 ، 1 ) y 2 + y + x 2 = 3 y \ الحـــــــل y 2 +( y ) + x 2 = 3 1 2 الأشتقاق الضمني 2 y y + y y + 2x = 0 \ \ -1 2 - 2 x 1 2 y \ = 1 y 2 مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) 2y + 2 y y + y y = - 2x \ \ -1 2 1 2 -2 = - 4 5 بالتعويض بـ ( 1، 1 ) y \ = y ( 2 y + y ) = - 2 x 1 2 -1 2 + 2 \ 1 2 ميل المماس = -4 5 \ -2x y = -1 2 2y + y 1 2

لتكن حيث مثال ( 8) صـ 114 إذا كانت فأثبت أن y y + ( y ) 2 = 0 إذا كانت فأثبت أن \\ y y + ( y ) 2 = 0 \ y = 1 – 2 x الحـــــــل لتكن حيث y = ( g o h ) ( x ) 1 \ g(x )= x g(x )= x 2 \ \\ -1 h ( x)= 1 – 2 x h ( x)= – 2 y = (1 – 2 x) 1 – 2 x -1 1 1-2x 1-2x - ( - 1 ) g( h(x))= 1-2x (0) 2 y = 1 – 2 x ( ) 2 y = g ( h (x)).h (x) \ \ -1 = 1 1-2x 1-2x . -2 \\ 2 y = 1 – 2 x ( ) 2 = -1 1-2x

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) \\ - 1 -1 yy +( y ) 2 = \ 1 – 2 x + ( ) 2 ( 1 – 2 x) 1 – 2 x 1 – 2 x -1 1 = + = 0 1 – 2 x 1 – 2 x مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2)

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) حاول ان تحل صـ114 رقم8 إذا كانت فأثبت أن \\\ \ y + y +2 sin x= 0 y = x sinx الحـــــــل y = x sin x y = x cosx + sinx \ y = - x sinx + cosx +cosx \\ مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) y = 2cosx – x sin x \\ y = - 3 sin x – x cosx \\\ y + y +2sinx = - 3 sin x – x cosx + xcosx+ sin x + 2sinx \\\ \ y + y +2sinx= \\\ \ - 3 sin x + + 3sinx y + y + 2sinx = 0 \\\ \

مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) أوجد في حيث كراسةالتمارين ( 13 ) صـ45 y - y = sinx \\ A sinx + Bcosx A , B y = \ A cosx - Bsinx الحـــــــــل y = \\ - A sinx - Bcosx مشتقات ذات الرتبه العليا والأشتقاق الضمني (6-2) ∵ y - y = sinx \\ ∴ - A sinx - Bcosx - A sinx - Bcosx = sin x - 2A sin x -2 B cos x = sin x + 0 يمكن حلها باستخدام المعادله التفاضليه 1 -1 2 - 2A= 1 A = y = -y \\ - 2 B= 0 B = 0

2 x ( 1 – x2 )2 f (x) = 2 + 6x2 ( 1 – x2 )3 f (x) = 24x + 24 x3 \ 2 + 6x2 ( 1 – x2 )3 f (x) = \\ 24x + 24 x3 ( 1 – x2 )4 f (x) = \\\ 24x + 24 x3 ( 1 – x2 )4 = ( 1 – x2). 2 + 6x2 ( 1 – x2 )3 - 6 x 2 x ( 1 – x2 )2 - 6 . = 0

الحـــــــــــــــــل مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) d 745 سؤال للمناقشة ( sin x ) أوجــــــــــــد dx 745 y = sin x الحـــــــــــــــــل y = cosx \ 0.25 y = - sin x \ \ 0.5 مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) y = - cosx 0.75 \ \ \ y = sin x (4) 1 745 ÷ 4 = 186. 25 sin x= y = cos x d 745 \ dx 745

مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) ملاحظـــــــة إذا كان الجزء العشري من ناتج القسمة علي 4 0.25 y \ 0.5 y \ \ مشتقة الدوال المثلثيه ( 4 – 2 ) 0.75 y \ \ \ y 1 إذا كان خارج القسمة علي 4 عدد صحيح

مشتقات الدوال المثلثية تذكـــــــر ميل نقطة معلومه نوجد مشتقة الدالةعند النقطة = ميل المماس للمنحني عند النقطة = معادلة المستقيم (المماس ) y -y 1 = m ( x – x1 ) معادلة المستقيم العمودي y – y 1 = (x – x1 ) لتكوين معادلة المستقيم m 1 2 -1 m

= . u قاعدة السلسلة (Chain Rule) قاعدة سلسلة القوي لدينا فإن u=g(x) لدينا قابله للاشتقاق عند ولدينا قابله للاشتقاق عند g(x) f y=f(u) x g إذا كان قابله للاشتقاق علي مجالها ، عدداً نسبياً فإن f(x) n فإن الداله المركبه ( f o g ) (x)=f(g(x)) n-1 n خطوات إيجاد \ \ (fog) (x) خطوات إيجاد 1 f (x ) \ نوجد 1 نوجد g (x ) \ 2 نوجد 2 نوجد \ 3 f (g (x )) نوجد إذا لم يحدد اي صورة من قاعدة السلسلة فيمكننا اختيار احدي الحالات = . نوجد \ 3 4 ( fo g) (x ) نوجد \ = f (g (x)) . g (x) \ u ثم التعويض عن 4 ملحوظه تقتصر دراستنا علي الدوال القابله للتركيب

مشتقات الدوال المثلثية (Sin x) =cos x (cosx) =-sin x y’’ =-y d dx (sin (f (x))=)cos f(x)).f (x) d dx 1 \ ملحوظة (cosx) =-sin x d dx (cos (f (x))=)-sin f(x)).f (x) d dx \ d dx tan x = sec 2 x (tan (f (x))=)sec2 f(x)). f (x) d dx \ y’’ =-y Y(4) =y فى الدوال المثلثيه (sin x ,cosx,) d dx (cot (f (x))=)-csc2 f(x)).f (x) cot x = - csc 2 x d dx \ d dx (sec (f (x))=)sec f(x).tan f (x)).f (x) sec x = sec x tan x d dx \ (csc (f (x))=-csc (f(x)). Cot f (x).f (x) d dx csc x = - csc x cotx \ d dx فى الدوال = = (f (x) ( d dx d dx 1 2 \ \