مقرر الإحصاء (عرض 160) المحاضرة (8) أ . عهد الشائع

أهداف المحاضرة : *) أهم المفاهيم الاساسية في الاحتمالات *) التعاريف المختلفة للاحتمال

تعاريف أساسية : التجربة العشوائية : التجارب المؤكدة ( المحددة) : هي أي إجراء نعلم مسبقاً جميع النواتج الممكنة له وان كنا لا نستطيع أن نتنبأ بأي من هذه النتائج سيتحقق فعلاً . حيث من الواضح أننا لا نستطيع أن نتنبأ بنتيجة التجربة العشوائية إلا إننا نستطيع حساب احتمال ظهور أي نتيجة وذلك باستخدام الاحتمالات . التجارب المؤكدة ( المحددة) : هي التجارب التي إذا تكررت تحت نفس الظروف فمن المؤكد ملاحظة نفس النتيجة مثل : إلقاء قلم في الهواء . التجارب العشوائية : هي التجارب التي تتحكم في نتائجها عوامل الصدفة بمعنى أنه إذا تكررت التجربة تحت نفس الظروف فربما تختلف النتائج مثل : إلقاء قطعة نقود .

•• فراغ العينة : المجموعة المكونة من جميع النتائج الممكنة من تجربة عشوائية ويرمز له بالرمز (S) . وقد يطلق عليه لفظ الحدث الشامل أو الحالات الممكنة . وكل نتيجة تسمى عنصر ومجموعة النتائج تسمى الفراغ . مثال (1-6) : عند إلقاء قطعة نقود متوازنة مرة واحدة فما هو فراغ العينة ؟ الحل / فراغ العينة هو مجموعة النتائج الممكنة لهذه التجربة : S = {H,T} نرمز للصورة بالرمز H نرمز للكتابة بالرمز T

مثال (2-6) : أنواع فراغ العينة : مثال (3-6) : عند إلقاء قطعتي نقود مرة واحدة ( أو قطعة نقود واحدة مرتين ) ما هو فراغ العينة ؟ الحل / فراغ العينة هو مجموعة النتائج الممكنة لهذه التجربة : S = {HH,HT,TH,TT} أنواع فراغ العينة : أ) فراغ العينة المحدود (المنتهي ) : الفراغ الذي يحتوي على عدد محدود من العناصر . مثال (3-6) : عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة ماهو فراغ العينة ؟ الحل / S = { , } ••• •••• ••••• •••••• • ••

ب) فراغ العينة غير المحدود ( اللانهائي ) : الفراغ الذي يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر ويمكن تقسيمه إلى نوعين : فراغ عينة لا نهائي قابل للعد : هو الفراغ الذي يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر وقابلة للعد مثل : إلقاء زهرة نرد حتى يظهر الوجه فيكون فراغ العينة المناظر S = {1, 2 } 2) فراغ عينة لا نهائي غير قابل للعد : هو الفراغ الذي يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر غير قابلة للعد مثل : اختبار مصباح كهربائي لمعرفة عمره فيكون فراغ العينة المناظر S = { } ••••••

حادثة ظهور وجهين متشابهين حادثة ظهور صورة واحدة على الاقل الحادثة : مجموعة جزئية من فراغ العينة . أنواع الحوادث : الحادثة البسيطة والحادثة المركبة : الحادثة البسيطة هي الحادثة التي تتكون من عنصر واحد من عناصر فراغ العينة , بينما الحادثة المركبة هي الحادثة التي تحتوي على أكثر من عنصر من عناصر فراغ العينة . مثال (4-6) :عند إلقاء قطعتي نقود مره واحدة حددي ما إذا كانت الحوادث التالية بسيطة أم لا إذا علمتِ ان فراغ العينة هو S = {HH,HT,TH,TT} ؟ الحادثة وصفها نوع الحادثة A1= {TT} حادثة ظهور كتابتين حادثة بسيطة A2= {HH} حادثة ظهور صورتين A3= {HH,TT} حادثة ظهور وجهين متشابهين حادثة مركبة A 4= {HH,HT,TH} حادثة ظهور صورة واحدة على الاقل

2) الحادثة المؤكدة : مثال (5-6) : 3) الحادثة المستحيلة : مثال (6-6) : هي الحادثة التي لابد من وقوعها فمثلاً عند إلقاء عملة لابد من ظهور الصورة أو الكتابة وعموماً الفئة الشاملة (فراغ العينة ) حادثة مؤكدة لانها مجموعة جزئية من نفسها مثال (5-6) : عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة فإن الحادثة المؤكدة هي ظهور أي وجه من إلى 3) الحادثة المستحيلة : عندما لا تكون للتجربة أي نواتج متعلقة بالحادثة ويرمز لها بالرمز مثال (6-6) : عند إلقاء زهرة نرد مرة واحدة فإن الحادثة المستحيلة هو ظهور عدد فردي وزجي في آن واحد . • ••••••

5) الحوادث المتنافية (المانعة) بالتبادل : 4) الحوادث المتماثلة : هي تلك الحوادث التي يكون لها نفس فرصة الحدوث . مثال (7-6) : عند إلقاء قطعة نقود مرة واحدة فإن فرص ظهور الكتابة تماثل فرص ظهور الصورة . عند إلقاء زهرة نرد مرة واحدة فإن فرص الحصول على الاوجه تكون متماثلة . 5) الحوادث المتنافية (المانعة) بالتبادل : إذا كان هناك حدثان A وَ B وكان وقوع الحادثتين معاً حدثاً مستحيلاً وهذا يعني أن الحدثين لا يمكن أن يقعا معاً أو وقوع أحدهما يمنع وقوع الاخر فإنه يُقال أنA وَB حدثان مانعان أو متنافيان بالتبادل .

مثال (8-6) : 6) الاحداث المستقلة : مثال (9-6) : عند إلقاء قطعة نقود مرة واحدة فإن حدث ظهور الكتابة يمنع حدث ظهور الصورة . عند إلقاء زهرة نرد مرة واحدة فإن ظهور أحد الاوجه يمنع ظهور الاوجه الاخرى . اذا كانت الحادثة A تمثل الوجوه الزوجية : A = { } والحدث B يمثل الوجوه الفردية :B = { } فإن الحدثين يعتبران مانعان لبعضهما بالتبادل . 6) الاحداث المستقلة : لو كان لدينا حدثان وكان وقوع أحدهما لا يؤثر في وقوع الاخر فيُقال أن الحدثين مستقلان , كذلك لو أن هناك أكثر من حدثين لا يؤثر ولايتأثر أحدهم بالأحداث الاخرى فيُقال أن تلك الاحداث مستقلة مثال (9-6) : عند إلقاء قطعتي نرد فإن ظهور رقم ما على القطعة الاولى لا يؤثر ولا يتأثر بما ظهر على القطعة الثانية . عند إلقاء أكثر من قطعتي نرد فإن ظهور رقم ما على أي قطعة نرد لا يؤثر ولا يتأثر بما ظهر على قطع النرد الاخرى , فإن الحدثين يعتبران حدثان مستقلان . •••••• •••• •• ••• ••••• •

مثال (10-6) : طرق العد ( التوافيق ) : حيث : فمثلاً : بكم طريقة يمكن اختيار رجلين من بين أربع رجال ؟ الحل / حيث أن X = 2 من الرجال من بين n = 4

ملاحظات هامة : مثال (11-6) : أعلنت إحدى الشركات عن توفر ثلاث وظائف شاغرة للرجال ووظيفتين للنساء بكم طريقة يمكن الاختيار اذا كان عدد المتقدمين ست رجال وخمس نساء ؟ الحل / عدد طرق اختيار الرجال : طريقة عدد طرق اختيار النساء : طريقة عدد طرق الاختيار الكلي : طريقة ملاحظات هامة :

مثال (12-6) : الاحتمال : التعريف الكلاسيكي للإحتمال : التعريف الكلاسيكي للإحتمال : إذا كان عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها نتائج تجربة ما هو n طريقة وكانت هذه النتائج لها نفس فرصة الظهور وكان من بينها m طريقة تظهر بها حادثة ما . فإنه يقال إن احتمال وقوع الحادثة هو # إذا رمزنا للحادثة A فإن P(A) احتمال وقوع الحادثة ويعطى : مثال (12-6) : إذا كانت لديك عشر بطاقات مرقمة من الرقم (1) حتى (10) موضوعة على طاولة بشكل عشوائي ومقلوبة ثم سحبت إحدى هذه البطاقات أ)ما احتمال الحصول على بطاقة تحمل الرقم (4) ب) ما احتمال الحصول على بطاقة تحمل رقم يقبل القسمة على (3)

الحل / أ ) فراغ العينة مكون من عشر عناصر أي أن n=10 وَ m=1 وهو العدد (4) بالتالي احتمال الحصول على الرقم (4) هو : ب) n=10 , m عبارة عن عدد يقبل القسمة على 3أو 6 أو 9 أي m=3 بالتالي احتمال الحصول على رقم يقبل القسمة على (3) هو :

مثال (14-6) : ألقيت قطعتا نقود متزنتان مرة واحدة فما احتمال ؟ أ) ظهور صورة واحدة على السطح العلوي ؟ ب) ظهور صورة واحدة على الأقل ؟ الحل / فراغ العينة هو : S = {HH,HT,TH,TT} أي أن n = 4 أ) عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها صورة واحده على السطح العلوي هي m = 2 إذن احتمال ظهور صورة واحده على السطح العلوي هو : ب) عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها صورة واحده على الاقل هي m = 3

ملاحظات هامة : مثال (15-6): قيمة الاحتمال واقعة بين قد تستخدم التوافيق لتحديد عدد الطرق m أو n أو كليهما ولكن لابد من معرفة اذا كان السحب بإرجاع أو بدون إرجاع . مثال (15-6): كان لدى إحدى محلات أجهزة الكومبيوتر بأحد المعارض خمسة أجهزة منهم جهازان عاطلان ولكن الاجهزة الخمسة كانت مغلفة بحيث لا يمكن تمييز أيهم العاطل فعندما طُلب شحن جهازين عشوائياً المطلـــــــوب : 1)تحديد فراغ العينة ؟ 2) تحديد الحدث A الذي يمثل أن يكون الجهازان بصورة جيدة ؟ 3) احتمال أن يكون الجهازان بصورة جيدة ؟

نفرض ان الاجهزة الجيدة ( 3# , 2# , 1# ) والاجهزة المعطلة ( 2# , 1# ) الحل / نفرض ان الاجهزة الجيدة ( 3# , 2# , 1# ) والاجهزة المعطلة ( 2# , 1# ) فراغ العينة هــو : S = {(#1#2) ,( #1#1 ),( #1#2) , ( #1#3 ) ( #2#1) ( #2#2) ( #2#3) (#1#2) (#1#3) (#2#3)} 2) الحادثة Aهي مجموعة جزئية من فراغ العينة S إذن الحادثة التي تمثل أن يكون الجهازان بصورة جيدة A = { (#1#2) (#1#3) (#2#3)} 3) عدد عناصر فراغ العينة هو n =10 وَ m هي عدد الطرق التي يكون فيها الجهازان بصورة جيدة إذن m= 3 بالتالي احتمال أن يكون الجهازان بصورة جيدة هو :

التعريف التجريبي للإحتمال : إذا كان عدد المرات التي أجريت بها تجربة ما تحت نفس الظروف هي n وكان عدد المرات التي لوحظ فيها حدث معين A هي m فإن احتمال وقوع الحدث A هو التعريف الرياضي للإحتمال : مسلمات نظرية الاحتمال / يرافق كل حادثة A احتمال P(A) يحقق احتمال وقوع حادثة مؤكدة يساوي واحد أي أن إذا كانت AوَB حادثتين متنافيتين فإن :