ِالمِدخل المنظومى فى تدريس وتعلم الحساب أ.د. أمين فاروق فهمى(*) - أ. أمانى فاروق فهمى(**) (*) مدير مركز تطوير تدريس العلوم - جامعة عين شمس (**) مدرسة بمدرسة جمال عبدالناصر القومية بمصر الجديدة (سابقا) مقــدمــــــــة: يعانى الطلاب فى جميع مراحل التعليم من فقد أو نسيان معظم ما تعرضوا له من معلومات. وهذا يعزى إلى قصور فى بنيتهم المعرفية نتيجة لوجود بعض المفاهيم الخاطئة أو المفقودة أو لضعف فى الترابط بين المفاهيم الموجودة فى هذه البنية مما يجعلها عشوائية الترتيب لا تصلح لأى تعلم لاحــــــــق. لذا يصبح التعلم اللاحق فى الغالب الأعم تعلم آلى يتم بالحفظ والتلقين ولا يصحبه أى نمو أو تراكم معرفى. وإنما ركام معلوماتى يكون عرضه للنسيان عقب اجتياز امتحــــــانات لا تقيس ســـــــوى المســــتويات الدنيا للتعلـــــم.

ولتصحيح هذا المسار الذى يؤدى إلى تدهور التعليم وإهدار للطاقات والجهد والمال لا بد للنظم التربوية القائمة أن تعيد النظر فى تنظيم مناهجها بحيث تحقق البنية المنظومية التى يراعى فيها المدى والتتابع والتكامل والتناغم كما يراعى فيها الترابـــــط بيــــــن المعرفـــــة والمهــــــارة والوجـــــــــدان. وممكن تحقيق ذلك باستخدام المدخل المنظومى الـــــذى يحقق تراكم وترابط المعرفة داخل البنية المعرفية للمتعلم. مما يؤدى إلى بنية معرفية سليمة مهياءة لأى تعلم لاحق، ومن هنا تتحقق مواصفات الجودة الشاملة للتعليم التى تنـــــادى بهــــــا دول العــــــــــالـــــم. ولأن المدخل المنظومى هو مدخل لإصلاح منظومة التعليم بكافة مكوناتها من منهج وطالب ومعلم وسياق للتعلم لذا فإن البنائية المنظومية لا بد أن تدخل مصاحبة ومعضدة للمدخل المنظومى فـــــــى إصــــــــــلاح هـــــذه المكـــــــونــــــات. و البنائية التى ننشدها بنائية منظومية تكتمل فيها منظومة جوانب التعلم التى تساعد المتعلم على ترتيب المعلومات بصورة شبكية فى بنيته المعرفية. وإذا نظرنا لتدريس وتعلم الحساب نجده يتعامل مع إعداد مجردة فى عمليات خطية منفصلة عن بعضها البعض (جمع - طرح - ضرب - قسمة) مما يصعب على التلميذ فى سن مبكرة أن يوجد علاقات منظومية بين الأعداد والعمليات والتى تعتبر من أهم وظائف الحساب فى المعاملات اليومية للبشر.

جمـــع 4 + 4 = 8 طـــرح 8 – 4 = 4 ضــرب 4 × 2 = 8 قسمـــة 8 ÷ 2 = 4 لذا فإن إيجاد علاقات منظومية بين العمليات الحسابية سوف يتبعه إيجاد علاقات بين الأعداد المكونة لها وهنا تنتظم الأعداد والعمليات معاً فى علاقات أقرب إلى الشبكية منها للخطية مما يسهل دخولها للبنية المعرفية للتلميذ وبذلك يحدث النمو المعرفى المطلوب ويصبح تعلم الحساب ذى معنى خصوصاً أنه لغة المعاملات اليومية بين البشر فلا يمكن ممارسة أى نشاط دون إجراء عمليات حسابية قد تكون بسيطة أو معقدة حسب مهام هذا النشــــــــــاط. فإذا نظرنا كيف يجرى تدريس عمليات الحساب حالياً من (جمع – وطرح – وضرب – وقسمة) تجدها تدرس بصورة منفصلة عن بعضها البعض كما يتضــــــح من المـــــــــــــثال الــــــــتالـــــــــــــــــــى: تكون بسيطة أو معقدة حسب مهام هذا النشاط. جمـــع 4 + 4 = 8 طـــرح 8 – 4 = 4 ضــرب 4 × 2 = 8 قسمـــة 8 ÷ 2 = 4 ويتضح من جميع العمليات السابقة أنه لا توجد علاقات متبادلة بينها كما لا توجد علاقات متبادلة بين الأعداد المكونة لها وهى (2،4، 8)، ويطلق عليها اسم علاقات خطية لأنها تسير فى خطوط منفصلة مستقلة عن بعضـــــــــــــها البعض.

ويقوم التلميذ بالتعامل مع الأعداد بصورة مجردة فى العمليات الحسابية السابقة (جمع – طرح – ضرب – قسمة) وبصورة منفصلة لأنه غير قادر على إيجاد علاقات متبادلة بين هذه العمليات أو بين الأعداد المــكونة لها. وبذلك يجد التلميذ نفسه مضطراً للتعامل مع هذه العمليات المجردة بصورة آلية بعيدة عن حياته اليومية مما يفقده فى الغالب الأعم القابلية للتعلم، ويجد المعلم نفسه فى موقف الملقن لهذه العمليات بصورة آلية أيضاً يعطى خلالها عشرات من المسائل للتلميذ دون أن يكون لها هدف مما يقلل من دافعية التعلم لدى التـــــــلاميـــــــذ. وبذلك نجد أنفسنا أمــــــام موقف تعليمى أقرب إلـــــى الآلــــية فى التعـــــلم يحـــــل التــــــلاميذ من خـلالــه عشرات من المسائـــل حـــول فـــكرة واحدة أو نوعـــــــــة واحدة من العمليـــــات الحسابية مما يكسـب التلاميذ نمطيــــــة التفكـــير وخطيته فضلاً عن أنه يجعل التعلم غير ذى معنى ودون أهــــــــــداف وظيــــــفيـــة محـــــــــــــــددة ولكى يكون التعلم ذىمعنى يجب أن نعطى هذه الأعـــــداد والعمليات بصورة مترابطة بحيث يسهل على التلميذ فهم هذه العمليات وبذلك تدخل فى بنائه المــــــــعرفى بصــــــــورة مـــــــترابطة تتضح منها كافة العـــــــلاقات الممـــــــــكنة. وبذلك يصبح الهدف من تدريس العمليات الحسابية: ليس فقط إكساب التلاميذ مهارات عقلية بحل هذه العمليات بل يمتد إلى مهارات أوسع تتمثل فى إيجاد العلاقات المتبادلة بين هذه العمليات وبين الأعداد المكونة لها وإيجاد علاقات بين أى عمليات حسابية ضرورية فى حياتهم اليومية لاختيار الأفضـــــــل منها.

ويمكن تمثيل ذلك من خلال الشكل المنظومى الآتى: عقلية عند حل هذه العمليات مهارات الهدف من تدريس العمليات الحسابية هو إكساب التلاميذ مهارات مهارات إيجاد علاقات بين الأعداد المكونة لهذه العمليات إيجاد علاقـــات بين العمليات شكل (1) وهذا يمكن تحقيقه إذا أخذنا بالمدخل المنظومى فى التدريس والتعلم.

ماذا نعنى بالمدخل المنظومى ؟   ماذا نعنى بالمدخل المنظومى    ؟  نعنى بالمدخل المنظومى أنه عند تدريس أى مفهوم أو موضوع فيجب تدريسه من خلال كافة العلاقات التى تربطه بالمفاهيم أو الموضوعات الأخرى. والشكل (2): يوضح المدخل الخطى فى التدريس والتعلم والذى يوضح العلاقة بين كل مفهوم والمفهوم الذى يليه أو يسبقه. مفهوم(3) مفهوم(4) مفهوم(2) مفهوم(1) شكل (2)

أما شكل (3): فيوضح المدخل المنظومى فى التدريس والتعلم والذى يوجد العلاقة بين كل مفهوم والمفاهيم الأخرى المتعلقة به. مفهوم (1) مفهوم (4) مفهوم (2) مفهوم (3) شكل (3)

وبتطبيق المدخل المنظومى فى التدريس والتعلم على علم الحساب نجد أن العلاقة بين عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة يمكن تمثيلها منظومياً على النحو التالى: طرح جمع قسمة ضرب (4) (5) (2) (1) ؟ (3) (6) شكل (4): يوضح منظومة العمليات الحسابية

أى أنه عند تدريس أى عملية حسابية يجب تدريسها من خلال علاقاتها المتـــــــــبادلة مــــــع العمليــــــات الحســـــــابيــــــــــة الأخـــــــــرى. وهذا يصعب فى البداية ولكن يجب أن يكون الإطار المنظومى الســابق واضحاً فى ذهن المعلم والتلميذ عند بداية تعليم وتعلم الحساب. فعادة ما نبدأ بتدريــــس عمليات الجمع ثم ننتــــقل لتدريس عمليــتتات الطرح. وهنا يجـــــــب أن نوضــــح العلاقــــة بين عملــــيات الجمع والطـــرح. و عند الانتقال لعمليات الضرب يجب أن نوضح العلاقة بين عمليات الطرح والضرب (2) والعــلاقــــة بيـــن عملــــيات الجـــــمع والضـــــرب (3) الانتقال لعمليات وعند القسمة يجب أن نوضــح العلاقات بين عمليات القسمة والضرب (5) والقسمة والطرح (4) والقسمة والجمع وبذلك يكتمل الإطار المنظومى لتدريس العمليات الحسابية المختلفة الذىتتضح منه العلاقات المتبادلة بين كل عملية والعمليات الأخرى

شكل 5 يوضح فكرة المدخل المـــــنظومى فى تدريـــــس وتعلـــــم الحساب جمع طرح قسمة ضرب (1) (2) (4) (5) (6) (3) ؟  جميع العلاقات معلومة )اكتمال المنظومة( )نهاية المقرر الدراسى( )ثلاث علاقات مجهولة( المرحلة الأولى )تدريس الجمع والطرح( )ست علاقات مجهولة( بداية المقرر الدراسى )خمس علاقات مجهولة( المرحلة الثانية (تدريس الضرب( المرحلة الثالثة (تدريس القسمة( المتعلــم شكل (5)

كما أن العلاقات المنظومية تمتد لتشمل العلاقات بين الأعداد المكونة للعمليات الحسابية وهنا يكون البعـــــد الأخر للمدخل المنظومى فى تدريـــــس وتعــــــــلم الحـــــــساب .   مثــــال: أوجد العــــلاقات الممكـــــنة بــــين الأعــــداد (2، 4، 8، 16):        ¨يمــــكن إيجــادهــا خطـــياً كالآتـــى: 2 ÷ 2× 4 4- 2 × 8+ 2 ÷ 8- 16 8 4 2 × 2 + 2- 2 ÷ 2 مجموع العمليات 12 شكل) 6)

أى إننا تناولنا العلاقات كالآتى: 2 4 8 16 هنا تتضح خطية العلاقات بين الأعداد أى تكون بين العدد والعدد الذى يليه فقط وليس بين كل عدد والأعداد الأخرى. كذلك نجد أن العمليات بين كل عدد والعدد الذى يليه فقط وليس بين كل عدد والأعداد الأخرى. ويلاحظ أن مجموع العمليات بين أربع أعداد هو 12 عملية. جمع طرح ضرب قسمة مجموع العمليات 3 12

    ويمكن إيجاد العلاقة المنظومية بين الأعداد الأربعة السابقة على النحو التالى: 2 16 4 8 2 + 2 × 2 ÷ 2 - 8 + 8 - 8 × 8 ÷ 14 + 14- 4 + - 4 - 6 6 + 4 ÷ 4 × 12 + - 12 شكل (7)

ومن المنظومة السابقة يتضح الآتى: 1- هناك علاقة بين كل عدد وبقية الأعداد المكونة للمنظومة. 2- زيادة العمليات حيث ظهرت عمليات جديدة كانت غير واضحة فى التناول الخطى. 3- مجموع العمليات الداخلة فى بناء المنظومية العددية السابقة (24) عملية حسابية. أى: تضاعفت العمليات بين الأرقام الأربعة عند الانتقال من المدخل الخطى إلى المدخل المنظومى. 4- يمكن تحليل المنظومة السابقة إلى 24 عملية حسابية خطية بعد بنائها وهنا تتحقق القدرة على التركيب ثم القدرة على التحليل. 5-يمكن تحليل المنظومة السابقة إلى عدد كبير من المنظومات البسيطة توجد لعلاقة ابين الأعداد وبعض العمليات.

أمثلــــة: عمليات (قسمة وضرب):      أمثلــــة: عمليات (قسمة وضرب): 2 × 4 ÷ 8 16 4 4 × 4 ÷ 2 × 4 16 2 8 2 ÷ 8 ÷   2- عمليات جمـع وطـرح: -14 +4 -4 +8 2 +2 4 8 -2 16 -8 +14 2 6 - 2 + 6 + 2 - 4 + 4 8 4 -

وهكذا يمكن أن تتعدد العمليات والعلاقات بين أى مجموعة من الأرقام 3- عمليات جمع وقسمة: 2 ÷ 2 + 4 ÷ 4 + 4 8 2 6 + 4 - 2 ÷ 4 ÷ 2 2 - 6 - 4 8 4- عمليات طرح وقسمة: وهكذا يمكن أن تتعدد العمليات والعلاقات بين أى مجموعة من الأرقام

= العدد الأول العدد الثانى + أولاً: الجمع والطرح: عمليات الجمع:     أولاً: الجمع والطرح:      عمليات الجمع: عمليات الجمع هى عمليات حسابية بسيطة لجمع عددين لتعطى عدد ثالث هو مجموعهما ويمكن توضيحها بالأمثلة الآتية:           مثــــال (1): 8 + 4 = 12           مثــــال (2): 12 + 4 = 16           مثــــال (3): 12+13= 25 وجميع العمليات السابقة خطية تتكون من ثلاثة أعداد فى مسألة خطية ولا توجد علاقة فيما ما بين كل منها والآخر.        أى وبصورة عامة فإن عمليات الجمع يمكن تمثيلها كالآتى: العدد الأول العدد الثانى مجموع العددين = +

كما يتضح من الشكل الآتى العدد الأول العدد الثانى مجموع العددين (؟) + = وهى علاقة توجد مجموع العددين. ولكن لا توجد علاقات بين كل من: العدد الأول ومجموع العددين؟ والعدد الثانى ومجموع العددين؟ والعدد الأول والثانى؟           كما يتضح من الشكل الآتى العدد الأول العدد الثانى مجموع العددين (؟) + = شكل (8)

المدخل المنظومى فى تعلم الجمع: وبذلك يصعب على التلميذ تناول هذه الأعداد المجردة التى لا توجد فيما بينها علاقات تربطها. ولكى نجعل التعلم ذا معنى لا بد من وضع علاقات تربط بين هذه الأعداد حتى يسهل دخولها مترابطة فى البنية المعرفية للتلميذ ليسهل عليه تناولها وفهمها وبذلك يحدث النمو المعرفى المنشود. المدخل المنظومى فى تعلم الجمع: فى هذا المدخل يتم إيجاد العلاقات الممكنة بين الأعداد التى سوف نتناولها فى عمليات الجمع على النحو المنظومى الآتى: العدد الأول العدد الثانى مجموع العددين (؟) (شكل 9)

الجمع بالمدخل المنظومى ويلاحظ من الشكل المنظومى أنه توجد علاقات متبــادلة بين مجموع العددين وكل عدد منهما. كما أن هــناك علاقة بين العدد الأول والثانى. وبتطبيق المدخل المنظومى السابق على عمليات الجمع التى سبق ذكرها فى الأمثلة (1-3) نحصل على الآتى: رقم الجمع بالمدخل الخطى الجمع بالمدخل المنظومى مثــال (1): 8 + 4 = 12 مثــال (2): 12 + 4 = 16 مثــال (3): 12 + 13 = 25 12 8 + 4 + 4 8 16 12 + 25 13 + 1 + 13

يلاحظ فى الجمع بالمدخل المنظومى أن:      يلاحظ فى الجمع بالمدخل المنظومى أن: 1- الأعداد المكونة لعملية الجمع (العددين ومجموعهما) توجد بينها علاقات متبادلة. كما توجد علاقة بين العمليات والأعداد المكونة لها. 2 - عمليات الجمع البسيطة بالمدخل الخطى هى فى الواقع ثلاث عمليات فى المدخل المنظومى.    ثانياً: عمليات الطرح:   عمليات الطرح هى عمليات حسابية بسيطة لطرح عددين لتعطى ناتج طرحهما.     ويمكن توضيحها بالأمثلة الآتية:     مثــــال (1): 8 – 3 = 5    16 – 14 = 2      مثــــال (2): 25 – 13 = 12       مثــــال (3):

وجميع العمليات السابقة هى عبارة عن عمليات خطية تتكون من ثلاثة أعداد فىمسألة خطية ولا توجد علاقة فيـــــــما بين كل عـــــــــدد منها والأخـر.   أى وبصورة عامة فإن عمليات الطرح يمكن تمثيلها كالآتى: العدد الأول (الأكبر) ناتج طرح العددين العدد الثانى (الأصغر) - = ويكون العدد الأول هو الأكبر والعدد الثانى هو الأصغر. وهذه العلاقة توجد ناتج طرح العددين ولكن لا توجد علاقات بين كل من: العدد الأول وناتج الطرح؟ والعدد الثانى وناتج الطرح؟ والعدد الأول والعدد الثانى؟

المدخل المنظومى فى الطرح::      كما يتضح من الشكل الآتى: (؟) العدد الأول (الأكبر) ناتج طرح العددين العدد الثانى (الأصغر) - =   شكل (10) وبذلك يصعب على التلميذ التعامـــــل مع هذه الأعداد المجردة التى لا توجد فيما بينها علاقات تربطها.. المدخل المنظومى فى الطرح:: فى هذا المدخل يتم إيجاد العلاقات الممكنة بين الأعداد التى سوف نتناولها فى عمليات الطرح على النحو الموضح بالشكل المنظومى التالى العدد الأول (الأكبر) العدد الثانى (الأصغر) ناتج الطرح (؟) شكل (11)

الطرح بالمدخل المنظومى  ويلاحظ من الشكل المنظومى أنه توجد علاقات متبادلة بين العددين وكذلك بين كل من العددين وناتج طرحهما وبتطبيق المدخل المنظومى السابق على عمليات الطرح التى سبق ذكرها فى الأمثلة (من 1-3) نحصل على الآتى: رقم الطرح بالمدخل الخطى الطرح بالمدخل المنظومى مثــال (1): 8 – 3 = 5 مثــال (2): 16 – 14 = 2 مثــال (3): 25 – 13 = 12 5 3 - 2 - 5 - 8 3 2 14 - 12 - 16 14 12 13 - 1 - 25 13

العلاقة بين الجمع والطرح:   يلاحظ فى الطرح بالمدخل المنظومى أن:  1- الأعداد المكونة لعملية الطرح (العددين الأكبر والأصغر وناتج طرحهما) توجد فيما بينها علاقات متبادلة. 2- عمليات الطرح بالمدخل الخطى هى فى الواقع ثلاث عمليات فى المدخل المنظومى.    العلاقة بين الجمع والطرح: بعد دراسة عمليتى الجمع والطرح اتضح أن عمليات الطرح هى عمليات عكسية للجمع كما يتضح من المثال المنظومى الآتى 3 - 3 + 6 - 6 9 3 6 + أى أن: العلاقة المنظومية بين الأعداد (3، 6، 9) هى علاقة بين عمليات جمع وطرح مكونة من ثلاثة عمليات جمع تقابلها ثلاث عمليات طرح (عكسية).

q ثالثاً: عمليات الضرب: 3 + 3 = 6 6 - 3 = 3 6 + 3 = 9 9 - 3 = 6 ست عمليات 3 + 6 = 9 9 - 6 = 3 وبذلك: تتحقق العلاقة المتبادلة بين عمليات الجمع والطرح (1) والموضحة فى منظومة تدريس الحساب (شكل 4). q     ثالثاً: عمليات الضرب: جداول الضرب هى حجر الزاوية فى العمليات الحسابية. كما أنها تمثل مشكلة بالنسبة للتلاميذ فى تذكر أعدادها لأنها تعطى بطريقة خطية مجردة ومنفصلة. كما أن فيها عنصر القهر الذى يملى على التلاميذ حفظ أرقام حسابية بعينـــها، ويجعل من المعلم ملقناً لهذه العمليات لا مرشداً وموجهاً لها. وجداول الضرب بصورتها الراهنة تمثل عبئاً على ذاكرة التلميذ حيث يحفظ أعداداً مجردة لا علاقة فيما بينها مما يجعلها عرضة للنسيان وعدم الثبات فى الذاكرة.

كما إنه عبئاً على المعلم أيضاً لأنه يجعل من دوره محصوراً فى دائرة حشو أذهان التــلاميذ بهـــذه الأعداد المجــــردة دون فهـــم العــــلاقات فيما بينها. كذلك يصعب على المعلم أو التلميذ أن يربط بين العمليات الحسابية الناتجة من جـــــدول الضــــرب أو بــــين الأعـــتداد النـــــاتجة من الضـترب وبعضها. ولكل ما سبـــــق يجد كل من المعلم والتلميذ نفسه فى موقف من أصعب المواقف التعليمية وهو موقف المعلم القاهر والتلميذ المقهور ووسيلة القهر هى جـــــداول مكـــــونة من أرقــــام مجــــردة لا صـــــلة فــــيما بينـــــتها. وبذلك تصـــــبح مادة الحســــاب عبئاً ثقيلاً على التــــلاميذ فى هذا السن المبكر. مما ينعــــتـكس سلــــــباً على تعلمهم الذى يصبح غير ذوى معنى. وجميع العمليات الحســـابية السابقة عمليات خطية منفصلة عن بعضها البعــــــض وغالباً ما ينــــــساها التلامـــــيذ وتقـــــف عـــند حد التـذكر. كما لا توجد علاقات بين هذه الأعـــداد وبعضها مما يجعلها غير ذى معنى. لذا يمكن أن نطلـق على جدول الضرب الســــابق اسم الجدول الخطى.

      فمثـــــلاً: لا توجد علاقة بين العمليات الحسابية الثلاث الآتية أو بين الأعداد المكونة لها.   مثــــال (1): 2 × 2 = 4       مثــــال (2): 2 × 4 = 8        مثــــال (3): 2 × 8 = 16 ولكى نجعل تعلم جدول الضرب ذا معنى لا بد من إيجاد علاقات بين العمليات الحسابية السابقة بحيث يكون التلميذ قادراً على استدعاء هذه العمليات من بنيته المعرفية. ومن هنا أتت فكرة استخدام المدخل المنظومى فى تدريس وتعلم جداول الضرب والعمليات الحسابية.

جدول الضرب (2) المنظومى نهاية الجدول (2+) 6 4 صفر 2 8 10 14 12 24 22 جدول الضرب (2) المنظومى نهاية الجدول (2+) 6 4 صفر 2 8 10 14 12 24 22 20 18 (*صفر) (×1) (2×) (3×) (4×) (× 5) (6 ×) (7×) (8×) (× 9) (10×) (11×) (12 ×) ((×صفر بداية الجدول أو (-24) (+2) 16 شكل (12)

2 4 8 مثال أوجد العلاقة المنظومية بين الأرقام (2، 4، 8): الحــل: (4×)        مثال أوجد العلاقة المنظومية بين الأرقام (2، 4، 8): الحــل: 2 4 8 (2×) (4×)        أى أنها عبارة عن ثلاث علاقات:        ¨         العلاقة بين الرقمين (2 4) هى 2 × 2 = 4        ¨         العلاقة بين الرقمين (4 8) هى 4 × 2 = 8 ثلاث عمليات ضرب العلاقة بين الرقمين (2 8) هى 2 × 4 = 8

اتجاه السهم يوضح ناتج عملية الضرب أى هو بمثابة علامة (=).        أى أن: العلاقة المنظومية السابقة هى عبارة عن علاقة بين ثلاثة أرقام هى (2، 4، 8) وكذلك علاقة بين ثلاث عمليات ضرب الموضحة عالية. 2 4 2 × اتجاه السهم يوضح ناتج عملية الضرب أى هو بمثابة علامة (=). ويمكن للمعلم أن يشرك التلاميذ فى حل منظومات كثيرة على جدول الضرب السابق (2) توجد العلاقة بين ثلاثة أو أربعة أو خمسة أو ستة أرقام وهكذا تكون متدرجة فى الصعوبة بعدها سوف يفهم التلاميذ العلاقات بين الأرقام المكونة للجدول وبالتالى سوف يكون تذكرها أسهل بكثير من حفظها مجردة ليس بينها علاقات.     مثال (1): أوجد العلاقة المنظومية بين الأعداد (2، 4، 6، 8، 10):                الحــل: 10 6 4 8 2 2 + 2 × 3× 4 × 5 ×

مثال (2): أوجد العلاقة المنظومية بين الأعداد (2، 12، 14، 16، 18، 20):        مثال (2): أوجد العلاقة المنظومية بين الأعداد (2، 12، 14، 16، 18، 20): الحــل: 16 14 18 2 2 + 7 × 8 × 9 × 10 × 20 12 6 ×

العلاقة بتن عمليات الجمع والطرح والضرب بعد دراسة عمليات الضرب تتضح العلاقة بين الضرب والطرح (2) والعلاقة بين الضرب والجمع (3) كما يتضح من الأمثلة الآتية:      العلاقة بتن الضرب والطرح: (العلاقة 2) فى منظومة تدريس الحساب مثــــال 2 × 6 - 4 - 4 8 2 2 - 4 ×

العلاقة بتن الضرب والجمع: (العلاقة 3) فى منظومة تدريس الحساب مثــــال: أى أن: العلاقة المنظومية بين الأعداد (2، 4، 8) هى عمليات ضرب وطرح مكونة من ثلاث عمليات ضرب وثلاث عمليات طرح. 2 × 2 = 4 4 - 2 = 2 2 × 4 = 8 8 - 4 = 4 ست عمليات ضرب وطرح 4 × 2 =8 8 - 6 = 2      العلاقة بتن الضرب والجمع: (العلاقة 3) فى منظومة تدريس الحساب       مثــــال: 4 + 2 × 6 + 4 8 2 2 + 4 × ويتضح أيضاً أن العلاقة المنظومية السابقة بين الأعداد (2، 4، 8) هى علاقة ضرب وجمع مكونة من ثلاث عمليات ضرب وثلاث عمليات جمع.

     العلاقة بتن الضرب والجمع والطرح: (العلاقتين 2،3) فى منظومة تدريس الحساب:       مثــــال: 2 2 × 4 + 4 8 2 + 2 - 4 - 4 × 6 - 6 + أى أن: العلاقة المنظومية بين الأعداد (2، 4، 8) فى دراستنا للحساب حتى الآن هى عمليات جمع وطرح وضرب مكونة من ثلاث عمليات جمع وثلاث عمليات طرح وثلاث عمليات ضرب .

q رابعاً: عمليات القسمة البسيطة: عمليات القسمة البسيطة هى عمليات حسابية تشتمل على قسمة عددين لينتج عدد ثالث هو خارج القسمة. ويمكن توضيح ذلك من الأمثلة المعطاة الآتية:        مثــــال (1): 6 ÷ 3 = 2        مثــــال (2): 16 ÷ 8 = 2 وجميع عمليات القسمة السابقة خطية توجد ناتج قسمة عددين لتعطى عدد ثالث هو خارج عملية القسمة. ويمكن تمثيل عمليات القسمة السابقة بصورة عامة كالآتى: العدد المقسوم العدد المقسوم عليه خارج القسمة ÷ =

ويطلق على عمليات القسمة السابقة اسم القسمة الخطية ويلاحظ منها أنه لا توجد علاقة بين كل من: العدد المقسوم والعدد المقسوم عليه - وخارج القسمة والعدد المقسوم – ناتج القسمة والعدد المقسوم عليه. كما هو موضح بالشكل الآتى: (؟) العدد المقسوم العدد المقسوم عليه خارج القسمة ÷ = شكل (13) أى أنه: فى عمليات القسمة البسيطة السابقة لا توجد علاقات بين الأعداد التى نتناولها ولذلك يطلق عليها القسمة الخطية. ويمكن إيجاد هذه العلاقات إذا قبل أى من العددين القسمة على رقم ليعطى نفس خارج القسمة.

(4÷) 8 (2÷) 4 2 ÷ = مثــــال: (شكل 14) يقبل كل من العددين (8، 4) القسمة على عدد صحيح ليعطى العدد (2).        ويلاحظ فى عملية القسمة المنظومية السابقة أن: 1- العدد (8) : يقبل القسمة على (4) ليعطى خارج القسمة (2). والعدد (4): يقبل القسمة على (2) ليعطى نفس خارج القسمة (2). 2- عملية القسمة المنظومية السابقة: هى عبارة عن ثلاث عمليات قسمة هى: (8 ÷ 2 = 4) ، (4 ÷ 2 = 2) ، (8 ÷ 4 = 2) العدد المقسوم العدد المقسوم عليه خارج القسمة (÷)

القسمة بالمدخل المنظومى أى أن كل عدد فى المنظومة يقبل القسمة على عدد صحيح ليعطى عدد آخر فى المنظومة كما هو موضح بالشكل السابق (14): لذا فعملية القسمة: 6 3 2 (2÷) (3÷) لا يمكن إجراؤها منظومياً لأنه وإن كان العدد (6) يقبل القسمة على (3) ليعطى (2) إلا أن العدد (3) لا يعطى العدد (2) بالقسمة على أى عدد صحيح.        أمثلة لبعض عمليات القسمة المنظومية: مثــال (2): القسمة بالمدخل المنظومى القسمة بالمدخل الخطى رقم   18 ÷ 6= 3    50 ÷ 10 = 5         3 ÷6 ÷2 ÷3 18 6 5 ÷10 ÷5 50 10

العلاقة بتن عمليات القسمة وغيرها من العمليات: بعد دراسة عمليات القسمة البسيطة تتضح العلاقة بين كل من: - القسمة والضرب (علاقة 4) - القسمة والجمع (علاقة 5) - القسمة والطرح (علاقة 6) كما يتضح من المثال الآتى: (2÷) 2 8 4 (2×) (4-) (4+) (+6) (- 6) (× 4) (2+) (2-) (÷4) (× 2) (÷2)

أى أن العلاقة المنظومية بين الأعداد (2، 4، 8) بعد اكتمال دراستنا لمنظومة الحساب هى عمليات (جمع وطرح وضرب وقسمة) ومكونة من ثلاث عمليات جمع وثلاث عمليات طرح وثلاث عمليات ضرب وثلاث عمليات قسمة أى أنها مكونة من أثنى عشر عملية. منظومات الحساب فى تنظيم المعاملات اليومية بين البشر: بعد أن استعرضنا العلاقات المنظومية بين الأعداد والعمليات الحسابية يجب أن نتوقف ونسأل أنفسنا لماذا كل هذه العلاقات بين الأعداد والعمليات؟ ولماذا نقوم بتدريسها بهذه الصورة؟ ولماذا المدخل المنظومى لتدريس وتعلم الحساب؟ وتكون الإجابة أن بناء العلاقات المنظومية بين الأعداد والعمليات سوف تساعد التلميذ فى بناء بنيته المعرفية بصورة مترابطة قادرة على تكوين علاقات بين أى مكونات حسابية ضرورية فى حياته. كذلك تمكن المتعلم المفاضلة بين العمليات الحسابية المختلفة لاختيار الأنسب منها لحل مشاكله اليومية. وبنظرة منظومية للحساب نجده لغة الحياة فى المعاملات اليومية بين البشر لأنه الآلية التى تحدد وتنظم المعاملات بين الأفراد داخل الأسر والمجتمعات ولا نبالغ إذا قلنا أن لغة الحوار بين البشر هى لغة التخاطب ولغة تنظيم المعاملات هى لغة الحساب وبدون لغة الحساب لا تتم لغة التخاطب وتسود الفوضى فى المعاملات بين البشر.

فبدون الحساب لا يمكن تحديد ميزانيات الأفراد والأسر والدول وعمليات الشراء والبيع بين الأفراد تتم فى إطار عمليات حسابية دقيقة. والتعامل مع البنوك من خلال آلية الإقراض والتوفير تحددها نسب فوائد تخضع لعمليات حسابية معقدة. كما أن الحساب يدخل فى تحديد وتنظيم أنشطة الأفراد فى التنقل والتسوق والسياحة والترويح والرياضة..إلخ - فعند قيام الفرد بممارسة نشاط التنقل: فإن العمليات الحسابية هى التى تحدد وسيلة الانتقال التى سوف يستعملها الفرد فى التنقل فى ضوء إمكاناته المادية. - وقيام الفرد بنشاط التسوق: لشراء ملابس ومواد غذائية فإن الذى يحدد ما ينفقه فى شراء الملابس إلى ما ينفقه فى شراء المواد الغذائية هو أولويات تنظمها عمليات حسابية. - وقيام الفرد بنشاط سياحى: يخضع أيضاً لعمليات حسابية دقيقة يدخل فيها تكلفة زيارة الأماكن السياحية والإقامة والتنقل ومدة البرنامج. وتكون مهارة الفرد فى مدى اختياره لأفضل البرامج السياحية المعلنة والتى تتناسب مع إمكاناته المادية.

عندما يقابل الفرد موقف معاملة مالية ما فى حياته: وحتى حينما يمرض الفرد فإن الذى يحدد رحلة علاجه هو إمكاناته المادية التى تخضع لعمليات حسابية يحدد فيها كشف الطبيب والتحاليل والأشعة المطلوبة وأين يجريها. مما سبق يتضح أن علم الحساب هو لغة المعاملات بين البشر فى حياتهم اليومية. لذا يجب أن يدخل مترابطاً ومتناغماً فى البنية المعرفية للمتعلم مما يجعله علماً وظيفياً يستخدمه المتعلم فى تنظيم أنشطته ومعاملاته اليومية. ولا يتم ذلك إلا بقيام الفرد بإيجاد علاقات حسابية بين تكلفة هذه الأنشطة والمعاملات لاختيار الأنسب منها وتحديد أولوياتها (انظر شكل 15).   عندما يقابل الفرد موقف معاملة مالية ما فى حياته:    - تدور عمليات حسابية مختلفة فى ذهنه لإيجاد أكثر من بديل مادى لهذه العملية. - يوجد علاقات بين العمليات الحسابية المختلفة (من 1-3). منظومة عمليات حسابية (1) منظومة عمليات حسابية (2) منظومة عمليات حسابية (3) القرار المناسب - يختار الأنسب منها لظروفه ليتخذ القرار المناسب.

شكل (15) يوضح كيفية اتخاذ الفرد للقرار المناسب فى معاملة يومية منظومة عمليات حسابية (1) منظومة عمليات حسابية (2) منظومة عمليات حسابية (3( القرار المناسب شكل (15) يوضح كيفية اتخاذ الفرد للقرار المناسب فى معاملة يومية

        الخلاصة: نتوقع من تدريس الحساب بالمدخل المنظومى أن يؤدى إلى بعض الفوائد نذكر منها: 1- زيادة دافعية التعلم لدى التلاميذ: لأن العمليات الحسابية المنظومية تعطى بصورة مترابطة مع بعضها بعد أن كانت منفصلة عن بعضها. وبذلك تصبح الأهداف والمهام واضحة أمام التلاميذ مما يزيد من دافعيتهم للتعلم. 2- يسهل عملية التعلم: لأن الأعداد المكونة للعمليات الحسابية بعد أن كانت أعداد منفصلة ومجردة أصبح بينها علاقات متبادلة وهذا يزيد من القدرة على استيعاب وفهم العمليات الحسابية مما يجعل التعلم ذا معنى. 3- يرفع من كفاءة التدريس: حيث يساعد المعلم على ترتيب العلاقات بين العمليات المختلفة وبذلك يصبح المعلم مرشداً للتلاميذ لحل العمليات الحسابية لا ملقناً لها وبذلك يحدث التعلم النشط داخل قاعات الدرس بين المعلم والتلاميذ. 4- يرفع مستوى التعلم إلى المستويات العليا: مثل التحليل والتركيب والتقويم وصولاً للإبداع.

5- يجعل مادة الحساب مادة مشوقة للتلاميذ: لا منفرة لهم فى بداية حياتهم الدراسية حيث تعطى لهم العمليات الحسابية فى صورة أشكال مشوقة ومسلية يطلق عليها أسلوب الألغاز. 6- يدخل الحساب فى البنية المعرفية للتلاميذ تراكمياً: من حيث الكم وكيفياً من حيث عمق العلاقات المتبادلة بين العمليات والأعداد المكونة لها. 7- ينمى الفكر المنظومى: عند إدارة الأنشطة البشرية داخل المجتمعات. 8- يجعل علم الحساب وظيفياً: بما ينظم العلاقات اليومية بين البشر.

        المراجـــــــــع 1- فاروق فهمى - جو لاجوسكى (2000): الاتجاه المنظومى فى التدريس والتعلم للقرن الحادى والعشرين. المؤسسة العربية الحديثة للطبع والنشر والتوزيع، الفجالة - القاهرة. 2- فاروق فهمى (2001): الاتجاه المنظومى فى التدريس والتعلم "المؤتمر العربى الأول حول الاتجاه المنظومى فى التدريس والتعلم"، القاهرة - (فبراير 2001). 3- فاروق فهمى - منى عبدالصبور (2001): المدخل المنظومى فى مواجهة التحديات التربوية المعاصرة والمستقبلية. دار المعارف - جمهورية مصر العربية (2001). 4- فاروق فهمى (2002): المدخل المنظومى فى التدريس والتعلم فى عصر العولمة. ندوة بجامعة المنوفية، شبين الكوم (إبريل 2002).

5 - فاروق فهمى (2002): المنظومية وتحديات المستقبل المؤتمر العربى الثانى حول المدخل المنظومى فى التدريس والتعلم، القاهرة، (فبراير 2002). 6- فاروق فهمى (2002): "المدخل المنظومى والبنائية" ندوة بكلية التربية بسوهاج - جامعة جنوب الوادى (ديسمبر 2002). 7- فاروق فهمى (2002): الوجه الآخر للعولمة "المنظومية وتحديات الحاضر والمستقبل" توزيع مؤسسة الأهرام جمهورية مصر العربية (2002). 8- فاروق فهمى - محمد فتحى الشحات - أمال سعيد (2002): "المدخل المنظومى فى تدريس وتعلم الكيمياء" وحدتا تصنيف العناصر والاتحاد الكيميائى لطلاب المرحلة الثانوية العامة. مركز تطوير تدريس العلوم

9- فاروق فهمى - أمانى فاروق فهمى (2003): "المدخل المنظومى فى تدريس وتعلم الحساب" توزيع مكتبةعرفة_مصر الجديدة _القاهرة 10- فتحى مصطفى الزيات (1995): سلسلة علم النفس المعرفى (1) الأسس المعرفية للتكوين العقلى وتجهيز المعلومات. المنصورة، دار الوفاء للطباعة والنشر 11) Fahmy, A.F.M., Lagowski, J.J; Pure Appl. Chem., 1999, 71(5) 859 – 863. [15th ICCE, Cairo, Egypt, August, 1998]. 12) Fahmy, A.F.M., Lagowski, J.J. Arief, M.H. [16th (ICCE) Budapest, Hungary August, (2000)]. 13) Fahmy, A.F.M., Workshop: on New Trends in Chemistry Teaching (NTCT) Organized by IUPAC, UNESCO, Budapest, Hungary August, (2000).

14) Fahmy, A. F. M.; Hamza M. S. A; Medien, H. A. A.; Hanna, W. G.; and Lagowski; J. J.; Satellite conference of the WCC 2001; Brisbane, Australia 1st July (2001). http.//www. salty2k.com/satlc 15) Fahmy, A. F. M.; Lagowski; J. J.; Chemical Education International Vol 3; (2002) http.//www.iupac.org/publications/Cei 16) Fahmy, A. F. M.; Hamza M. S. A; Medien, H. A. A.; Hanna, W. G.; Mona A. S.; and Lagowski; J. J.; Chinees J.C.E., 23 - 26 (2002).